2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷(a卷)

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1、欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A卷）（10月17日上午8：00—9：20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．函数f(x)＝的值域是_______________________．2．已知函数y＝(acos2x－3)sinx的最小值为－3，则实数a的取值范围是______________________．3．双曲线x2－y2＝1的右半支与直线x＝100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是____________

2、____________．4．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，且存在常数α，β使得对每一个正整数n都有an＝logαbn＋β，则α＋β＝_____________________．5．函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>0，a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是____________________．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜

3、概率是________________．7．正三棱柱ABC－A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B－A1P－B1＝α，则sinα＝_____________________．8．方程x＋y＋z＝2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是____________________．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），当0≤x≤1时，

4、f′(x)

5、≤1，试求a的最大值．10．（

6、本小题满分20分）已知抛物线y2＝6x上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2且x1＋x2＝4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．11．（本小题满分20分）证明：方程2x3＋5x－2＝0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得＝……．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A卷）（10月17日上午8：00—9：20）一

7、、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．函数f(x)＝的值域是_______________________．2．已知函数y＝(acos2x－3)sinx的最小值为－3，则实数a的取值范围是______________________．3．双曲线x2－y2＝1的右半支与直线x＝100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是________________________．4．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，且存在

8、常数α，β使得对每一个正整数n都有an＝logαbn＋β，则α＋β＝_____________________．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com5．函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>0，a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是____________________．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是_

9、_______________．7．正三棱柱ABC－A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B－A1P－B1＝α，则sinα＝_____________________．8．方程x＋y＋z＝2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是____________________．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com9．（本小题

10、满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），当0≤x≤1时，

11、f′(x)

12、≤1，试求a的最大值．10．（本小题满分20分）已知抛物线y2＝6x上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2且x1＋x2＝4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．11．（本小题满分20分）证