2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试).pdf

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1、2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，毎小题8分，满分64分．1．设集合A1,2,3,...,99，Bxx{2

2、A}，CxxA{

3、2}，则BC的元素个数为_________．2．设点P到平面的距离为3，点O在平面上，使得直线与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点O所构成的区域的面积为_________．3．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abcdef是偶数的概率为_________．22xy4．在平面直角坐标系中，椭圆C：ab22

4、1(0)的左右焦点分别为F1，F2椭圆C的弦STab与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于P，己知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为：_________．5．设fx()是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足f()1，12xf(2)1，则不等式组的解集为_________．1fx()226．设复数z满足z1，使得关于x的方程zxzx220有实裉，则这样的复数z的和为_________．7．设O为△ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBA

5、C的值为_________．8．设整数数列aa12,10,,a满足a10aa11353,aa2，且aiaii1a{1,2}，i=l，2，…，9，则这样的数列的个数为_二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

6、logxx1

7、,00+39．（本题满分16分）己知定义在及R上的函数fx为fx=，设a,b,c4x,x9是三个互不相同的实数，满足fa()fb()fc()，求abc的取值范围．10．（本题满分20分）己知数列aaa1,,23满足：对任意正整数n，有an

8、21Snna，其中Sn表示数列的前n项和。证明：（1）对任意正整数n,有an2；n（2）对任意正整数n,有aa1．nn+1211．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线yx4的过点F（1,0）的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O，A，B）．若PF平分APB．求PF的所有可能值．2018年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设n是正整数，aa,,,a，bb,,b,，A，B均为正实数，满足ab，12n12niibbbBaA，in1,2,,，且12nii．证明：aaaA

9、12n(+1)(+1)bbb(1)B+112n(+1)(+1)aaaA(1)+112n二、（本题满分40分）如图，△ABC为锐角三角形，AB

10、其中aa,A．k1四、（本题满分50分）数列{}an定义如下：a1是任意正整数，对整数n1，an1是与ai互素，且不等于aa,,,a的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}a中出现．12nn2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为个档次，第10、

11、一11小题5分为个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本六题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设织合A={I,2,3、,99｝‘B={2xjxEA},C={xl2xε斗，则B门C的元素个数为答案：24.113991解：由条件知，snc={2,4,G，…，19S}nj-,I,-.2，…，－�＝｛2,4,6，…，48},1222I故B门C的元素个数为24.2.设点P到平丽α的距离为-13，点Q在平丽α上，使得直线PQ与。所成°。角不小于30且不大于60’则这样的点Q所构成的区域的面积为答案：如．解：设们在平面。上的射影为。白条件知，立＝

12、tanLOQPε｜丘♂I'OQI32即OQE[I,3］，放所求的区域面积为1r.3-1r·I2=81r.一3.将I,2,3,4.5,6随机排成行，i己为a,b,c,d,e,f，则