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时间:2021-02-06
《2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题(考试时间:10月11日上午8∶00—9∶20)一、填空题:本大题共8小题,每小题7分,共56分.把答案填在横线上.1.若函数,且,则.2.已知直线:和圆:,点在直线上,、为圆上两点,在△中,,过圆心,则点横坐标范围为.3.在坐标平面上有两个区域和,为:是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,设和的公共面积是函数,则.4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为.5.椭圆()上任意两点,,若,则乘积的最小值为.6.若方程仅有一个实根,那么的取值范围是.7.一个
2、由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示).8.某车站每天8∶00—9∶00,9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为到站时刻8∶109∶108∶309∶308∶509∶50概率一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分).二、解答题:本大题共3小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本
3、小题满分14分)设直线:(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.2.(本小题满分15分)已知,()是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(3,4,…).(I)求数列的通项公式(用,表示);(II)若,,求的前项和.3.(本小题满分15分)求函数的最大值和最小值.2009年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)(考试时间:10月11日上午9∶40—12∶10)一、如图,,分别为锐角三角形△()的外接圆上弧、的中点
4、.过点作//交圆于点,为△的内心,连接并延长交圆于.(I)求证:当;(II)在弧(不含点)上任取一点(,,),记△,△的内心分别为,,求证:,,,四点共圆.二、求证不等式:,1,2,….三、设,是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数,使得与互素.四、在非负数构成数表中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,,,,,,,均大于1.如果的前三列构成的数表满足下面的性质(O):对于数表中的任意一列(1,2,…,9)均存在某个{1,2,3}使得{,,}.求证:(I)最小值{,,},1,2,3一定取自数表的不
5、同列.(II)存在数表中的唯一的一列,1,2,3使得数表仍然具有性质(O),即对于数表中的任意一列(1,2,…,9)均存在某个{1,2,3}使得{,,}. 一、如图,M,N分别为锐角三角形△ABC(∠A<∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点,I为△ABC的内心,连接PI并延长交圆D于T. (1)求证:MP·MT=NP·NT; (2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A,T,B),记△AQC,△QCB的内心分别为I1,I2. 求证:Q,I1,I2,T四点共圆. 证明:(1)连NI,
6、MI.由于PC∥MN,P,C,M,N共圆,故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC,PM=NC.……10分 连AM,CI,则AM与CI交于I,因为 ∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI, 所以MC=MI.同理NC=NI. 于是NP=MI,PM=NI. 故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底,等高).……20分 又P,N,T,M四点共圆,故∠TNP+∠PMT=180°,由三角形面积公式 = =. 于是PM·MT=PN·NT.……30分 (2)因为
7、∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N, 所以NC=NI1,同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC,NP=MC,故 .……40分 又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT, 有△I1NT∽△I2MT. 故∠NTI1=∠MTI2,从而 ∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2. 因此Q,I1,I2,T四点共圆.……50分 二、求证不等式: ,n=1,2,… 证明:首先证明一个不等式: (1). 事实上,令 h(x
8、)=x-ln(1+x),. 则对x>0, . 于是 h(x)>h(0)=0,g(x)>g(0)=0. 在(1)中取得 (2).……10分 令,则, < =-, 因此.……30分 又因为 lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=. 从而 = = =.……50分 三、设k,l是给定的两个正整数,证明:有
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