2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc

2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc

ID:61491917

大小:536.00 KB

页数:16页

时间:2021-02-06

2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc_第1页
2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc_第2页
2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc_第3页
2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc_第4页
2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc_第5页
资源描述:

《2009年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库

1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题(考试时间:10月11日上午8∶00—9∶20)一、填空题:本大题共8小题,每小题7分,共56分.把答案填在横线上.1.若函数,且,则.2.已知直线:和圆:,点在直线上,、为圆上两点,在△中,,过圆心,则点横坐标范围为.3.在坐标平面上有两个区域和,为:是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,设和的公共面积是函数,则.4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为.5.椭圆()上任意两点,,若,则乘积的最小值为.6.若方程仅有一个实根,那么的取值范围是.7.一个

2、由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示).8.某车站每天8∶00—9∶00,9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为到站时刻8∶109∶108∶309∶308∶509∶50概率一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分).二、解答题:本大题共3小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本

3、小题满分14分)设直线:(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.2.(本小题满分15分)已知,()是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(3,4,…).(I)求数列的通项公式(用,表示);(II)若,,求的前项和.3.(本小题满分15分)求函数的最大值和最小值.2009年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)(考试时间:10月11日上午9∶40—12∶10)一、如图,,分别为锐角三角形△()的外接圆上弧、的中点

4、.过点作//交圆于点,为△的内心,连接并延长交圆于.(I)求证:当;(II)在弧(不含点)上任取一点(,,),记△,△的内心分别为,,求证:,,,四点共圆.二、求证不等式:,1,2,….三、设,是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数,使得与互素.四、在非负数构成数表中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,,,,,,,均大于1.如果的前三列构成的数表满足下面的性质(O):对于数表中的任意一列(1,2,…,9)均存在某个{1,2,3}使得{,,}.求证:(I)最小值{,,},1,2,3一定取自数表的不

5、同列.(II)存在数表中的唯一的一列,1,2,3使得数表仍然具有性质(O),即对于数表中的任意一列(1,2,…,9)均存在某个{1,2,3}使得{,,}. 一、如图,M,N分别为锐角三角形△ABC(∠A<∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点,I为△ABC的内心,连接PI并延长交圆D于T.  (1)求证:MP·MT=NP·NT;  (2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A,T,B),记△AQC,△QCB的内心分别为I1,I2.  求证:Q,I1,I2,T四点共圆.  证明:(1)连NI,

6、MI.由于PC∥MN,P,C,M,N共圆,故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC,PM=NC.……10分  连AM,CI,则AM与CI交于I,因为  ∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI,  所以MC=MI.同理NC=NI.  于是NP=MI,PM=NI.  故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底,等高).……20分  又P,N,T,M四点共圆,故∠TNP+∠PMT=180°,由三角形面积公式    =  =.  于是PM·MT=PN·NT.……30分  (2)因为

7、∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,  所以NC=NI1,同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得.  由(1)所证MP=NC,NP=MC,故  .……40分  又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT,  有△I1NT∽△I2MT.  故∠NTI1=∠MTI2,从而  ∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.  因此Q,I1,I2,T四点共圆.……50分  二、求证不等式:  ,n=1,2,…  证明:首先证明一个不等式:  (1).  事实上,令  h(x

8、)=x-ln(1+x),.  则对x>0,  .  于是  h(x)>h(0)=0,g(x)>g(0)=0.  在(1)中取得  (2).……10分  令,则,  <  =-,  因此.……30分  又因为  lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.  从而    =  =  =.……50分  三、设k,l是给定的两个正整数,证明:有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。