全国高中数学联赛试题及解答一试、加试

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1、2015年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．21.设ab,为不相等的实数，若二次函数fx()xaxb满足fa()fb()，则f(2)的值为．答案：4．aba解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性

2、，可得，即20ab，所以22f(2)42ab4．142.若实数满足costan，则cos的值为．sin答案：2．222解：由条件知，cossin，反复利用此结论，并注意到cossin1，得22142cossincossinsinsin22(1sin)(1cos)2sincos2．3.已知复数数列{z}满足z1,zz1nni(1,2,)，其中i为虚数单位，zn11nnn表示z的共轭复数，则z的值为．n2015答案：20151007i．解：由已知得，对一切正整数n，有zznznnznn21

3、11in1i11in2i，于是zz10072i20151007i．201514.在矩形ABCD中，AB2,AD1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DPBQ，则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为．3答案：．4解：不妨设ABD(0,0),(2,0),(0,1)．设P的坐标为(,1)t（其中02≤≤t），则由DPBQ得Q的坐标为(2,t)，故PA(t,1),PQ(2t,t1)，因此

4、2PAPQ(t)(2t)(1)(t1)t2t1t133．24413当t时，PAPQ．2min45.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为．2答案：．55解：设正方体为ABCDEFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有3C220种．12下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可

5、能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．82由上可知，3条棱两两异面的取法数为428，故所求概率为．220556.在平面直角坐标系xOy中，点集K(,)xyx3y63xy60所对应的平面区域的面积为．答案：24．解：设K(,)xyx3y60．先考虑K11在第一象限中的部分，此时有xy36，故这些点对应于图中的OCD及其内部．由对称性知，K对应的1区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部．同理，设K(,)3xyxy60，则K对22应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．由点集K的定义知，K所对应

6、的平面区域是被K、K中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．12由于直线CD的方程为xy36，直线GH的方程为36xy，故它们的交点P的33坐标为,．由对称性知，2213SS88424．CPG227.设为正实数，若存在ab,(ab2)，使得sinabsin2，则的取值范围是．9513答案：,,．424解：由sinabsin2知，sinabsin1，而[,ab][,2]，故题目条件等价于：存在整数klkl,()，使得

7、222kl．①22当4时，区间[,2]的长度不小于4，故必存在kl,满足①式．当04时，注意到[,2](0,8)，故仅需考虑如下几种情况：515(i)2，此时且，无解；22245995(ii)2，此时有；224291313913(iii)2，此时有，得4．22424951