2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

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1、2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准（A卷word版）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在题中的横线上.21・设P是函数y=x+-（兀〉0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和yx轴作垂线，垂足分别为A,B,则的值是【答案】-1【解析】方法1:设戸（花£+二）:则直线PT的方程为3-（工+二）=-（玄-.$）用V=x3—c5【解析】由題吨注4害catanAtailBsin.4cos5sin5cosJ8丄。丄2=川（兀+丄£+丄）.）'=一尤+2勺+—x0x0又£（0入+2）.所以丙=（2._2）.丙=（一心0）-故丙

2、.西=丄•（一对二一1.设AABC的内角A,B.C的对边分别为a.b.c,且满足acosB-bcosAn.tanA_则的值是tanS【答案】43.设x,y,zw[0,l],则M=J

3、x_y

4、+y_z

5、+J

6、z_k

7、的最大值是・【答案】血+1【解析】不妨设0＜兀＜yWzW1,则M=y/y-x4-y[z-y+Jz-x・因为+Jz_y＜J2[(y_兀)+(z_y)」=』2(z-Q.所以M5J2(z-x)+Jz—兀=(V5+l)Jz-x5逅一1.当且仅当y-%=z-y,x=0,z=l,y=

8、时上式等号同时成立•故迩=©+1.厶4•抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,准线为1

9、,是抛物线上的两个动点，且满足ZAFB=-・设线段AB的中点M在1上的投影为W,则也也的最大值3AB是【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得

10、MN

11、AF+BF2在AAFB中，由余弦定理得

12、=AFf+—2

13、AF

14、•BF3F

15、)2—3

16、n(

17、+0F

18、)2—3("月+0FBF2—=(AF+AF+)12***6=MN2.71cos—3)2当且仅当

19、AF

20、=0F

21、时等号成立.故骨的最大值为1.5.设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是【答案】4

22、【解析】如图•连结P0,则平面期C,垂足H为正UBC的中且PQ迪心0,连结CF并延长交AB于点M,则M为AB的中航且CM,易知乙PIH：厶QIH分别为正三棱锥P-ABC’Q-ABC的ft!面与底面所成二角的平面角,则"IH=45=,从而PH=MH=AH,因为APAO=90AH_PQ:所UtAP：=PH・QHZ即且于=；AH-OH.所UtOH=2AH=AMH.,故tan厶OIHOH而=46.设/(兀)是定义在/?上的奇函数，且当兀》0时，f(x)=x7.满足-2/(%)恒成立

23、，则实数a的取值范围是・【答案】［血，-KC).尸r［解析】由題设知/(X)="MU)，则2f(x)=因此廡不等式等价于,-^(x<0)/(x+a)>/(72x).因为几对在7?上是増函魏，所以x+d±>/5^=即匕>(>/2-1).y.又xw+所以当x=a+2时，(JI—l)x取得最大值(-1)@+2)因1匕a>^一1)3+2)=解得aZJI故a的取值•71兀•71371sin——<——<—,sin—>—x——=—,13134127i4•兀兀1.”3711丁2sin—<—<-,sin—>—X—=—•所以101039兀93•711.71.71.711.71sin—<—

24、

25、3434243二.解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明.推理过程或演算步骤.1319.(本小题满分16分)已知函数/(x)=°sin兀——cos2x+o——+—gR.a^O2a2(1)若对任意xeR,都有f(x)<0,求d的取值范围；(2)若"2,且存在xwR,使得/(X)<0,求d的取值范围.16分【解析】(1)/(x)=sing(-l)=l-二兰0对任意兰0亟立的充要条腥｛°cUW(0J]g(l)=l+2a--<0Ia分⑵因为12分aSJJt/(x)ah=1一2.于是註xeR,使得f(x)兰0的充要条曜1一