初二最短路径专题.docx

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1、八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形

2、、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1]作法图形原理A*l•b在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.连AB,与l交点即为P.A^ViB两点之间线段最短.FA+PB最小值为AB.【问题2】“将军饮马”作法图形原理A.•Bl在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.作B关于l的对称点B/连AB"与l交点即为P.A5PB'两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB"【问题3】作法图形原理liAll2在直线li、l2上分别求点M、N,使^PMN的周长最小.分别作点

3、P关十两直线的对称点P，和P〃，连P，P〃,与两直线交点即为M,N.P两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段，的长.12N:12■P''【问题4】作法图形原理li/,Q*P乙l2在直线li、l2上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小.分别作点Q、P关于直线li、l2的对称点Q/和P，连CTP,与两直线交点即为M,N.Q'11Q,/42N!■.P'两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段P的长.【问题5】“造桥选址”作法图形原理1A*M^m♦B直线m//n,在m、n,上分别求点M、N,使MN，m,且AM+MN+BN的值最小.将点A向下平移MN的长

4、度单位得A"连AB,交n于点N,过N作NM，m于M.【问题6】作法A・B■MaN-l在直线l上求两点M、N（M在左），使MNa,并使AM+MN+NB的值最小.将点A向右平移a个长度单位得A＜作A，关于1的对称点A〃，连A〃B,交直线1于点N,将N点向左平移a个单位得M.【问题7】作法ll12在11上求点A,在12上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于11的对称点p/,作PB±12于B,交12于A.【问题8】作法JX^11AA12MBA为11上一定点，B为12上一定点，在12上求点M,在11上求点N,使AM+MN+NB的值最小.作点A关于12的对称点A工作点B关于11的

5、对称点B"连AB交12于M,交11于N.【问题9】作法A.,B1在直线1上求一点P,使PAPB

6、的值最小.连AB,作AB的中垂线与直线1的交点即为P.AA,'-m士两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.图形原理AA'聿■■■faii■■■2WI1M:，N：/■■■v・A''两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A〃B+MN.图形「原理11B12点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段PB的长.图形原理B'•fjMB12A'两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段AB，的长.图形原理>B1yP垂直平分上的点到线段两端点的距离相等

7、.PAPB=0.【问题10]作法图形原理2-A・Bl在直线l上求一点P,使PAPB的值最大.作直线AB,与直线l的交点即为P.A*^^B^l三角形任意两边之差小于第三边.

8、PAPB

9、

10、PAPB的最大值=AB.【问题11]作法图形原理A■l*B在直线l上求一点P,使PAPB的值最大.作B关于l的对称点B/作直线AB"与l交点即为P.A^B':'JlP-'PB三角形任意两边之差小于第三边.PAPB

11、庄.计划在l上的某处修建一个水泵站M,向P,Q两地供-4--4-【例3】已知A(1,1)、B(4,2).(1)P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标;-4-(1)CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;【例4】如图，已知两点P、Q在锐角/AOB内，分别在OAOB上求点2-4--4-【例5】如图，在河两岸有两个村子，要在两个村子之间架一座桥梁，请你利用已学知识画出使两个村子距离最短的桥梁建设位置，保留作图痕迹-4--