初二数学最短路径问题知识归纳+练习.docx

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1、初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方

2、形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理AAl连AB，与l交点即为P．Pl两点之间线段最短．BPA+PB最小值为AB．B在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题2】“将军饮马”作法图形原理AAB作B关于l的对称点B＇B两点之间线段最短．l连AB＇，与l交点即为P．lPA+PB最小值为AB＇．P在直线l上求一点P，使B'PA+PB值最小．【问题3】作法图形原理l1P'l1P分别作点P关于两直线的M两点之间线段最短．对称点P＇和P＇，连P＇P＇，PM+MN+PN的最小值为l2

3、P在直线l1、l2上分别求点与两直线交点即为M，N．Nl2线段P＇P＇＇的长．M、N，使△PMN的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l1lQ'1Q分别作点Q、P关于直线PMQ两点之间线段最短．l1、l2的对称点Q＇和P＇l2P四边形PQMN周长的最小连Q＇P＇，与两直线交点即l2值为线段P＇P＇＇的长．在直线l1、l2上分别求点为M，N．NM、N，使四边形PQMNP'的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文AMNmn将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交nAA'M两点之间线段最短．mB直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小

4、．【问题6】ABlMaN在直线l上求两点M、N（M在左），使MNa，并使AM+MN+NB的值最小．【问题7】l1Pl2在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小．于点N，过N作NM⊥m于M．作法将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇，连A＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．作法作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．AM+MN+BN的最小值为nNA＇B+MN．B图形原理AA'B两点之间线段最短．lMNAM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．A''图形原理l1P'P点到直线，垂线段最短．APA+AB的最小值为线段P＇l2B的长．

5、B【问题8】作法l1NAMl2作点A关于l2的对称点BA＇，作点B关于l1的对称A为l1上一定点，B为l2上点B＇，连A＇B＇交l2于M，一定点，在l2上求点M，交l1于N．在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小．【问题9】作法图形原理B'l1N两点之间线段最短．AAM+MN+NB的最小值为MBl2线段A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l上求一点P，使PAPB的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lPPAPB＝0．【问题10】作法图形原理范文A三角形任意两边之差小于ABl作直线AB，与直线l的交第三边．PAPB≤AB．B

6、点即为P．l在直线l上求一点P，使PPAPB的最大值＝AB．PAPB的值最大．【问题11】作法图形原理AAl作B关于l的对称点B＇B'B作直线AB＇，与l交点即lP在直线l上求一点P，使为P．BPAPB的值最大．三角形任意两边之差小于第三边．PAPB≤AB＇．PAPB最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理ABC△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．DAEPBC两点之间线段最短．PA+

7、PB+PC最小值＝CD．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6ADPEBC2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．23C．23D．4