最短路径问题_专题

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1、解惑培优学堂（内部资料：数学）版权所有，翻版必究最短路径问题专题研究：初中数学中最短路径问题虽然只是一个课题学习，但它在中学数学中的地位很重要，是大考、小考、竞赛中经常涉及的一个考点。所以我们要对它有足够的重视。初中最短路径问题主要针对轴对称图形考虑的。那么只要涉及轴对称图形就有可能产生最短路径问题。在此之前，我们接触过的最短距离问题是（1）两点间直线段最短；（2）点到直线上所有点的距离中，垂线段最短。（1’）三角形两边之和大于第三边。这三点是我们这里最短路径问题的理论基础（为什么我们写（1’）而不是（3），是因为（1’）其实是（1）的一个特殊情况（

2、推论））。当然这里主要利用的是（1）。结合轴对称图形和垂直平分线的性质和（1’），最短路径问题的证明也是我们需要掌握的。最短路径问题的实际背景：1、牧马回家问题：牧马人在A点完成牧马准备回家，回家前必须牵马到河边饮水后再回到B点的家，问到什么地点P饮马，回家的路径最短解决办法：作A点关于河岸的对称点A’（当然也可以作B点的对称点），连接A’B，则A’B与河岸的交点P’既是所求的最短路径问题的点。证明方法：（略）最短路径问题一的一般性数学描述：在对称图形的一侧有两点A、B，要在对称轴上求一点，使得该点到两已知点的距离之和最短。（这是对所有轴对称图形来讲

3、的）如果不是轴对称图形，那么我们可以用轴对称的办法构造轴对称图形。如牧马问题其实就是构成轴对称。既然最短路径问题是针对所有的轴对称图形，那么今后我们只要涉及轴对称图形，就会有最短路径问题的数学应用。最短路径问题的基本变形：A、已知角内侧有一点，在角两边分别求一点，使得三点围成的三角形周长最短；如图，已知∠BOC内有一点A、在OB、OC上分别求M、N，使AM+AN+MN最小。该问题的的解决方法：1作A点关于OB的对称点A’；2作A点关于OC的对称点A’’；3连接A’A’’交OB，OC于M’、N’，则M’，N’即使问题中所要求的点M和N证明：连接A’M和

4、A’’N，只要证明A’A’’＜A’M+MN+NA’’即可。详细证明（略）对于该问题我们要理解它的实质，该问题在实际中有几个考查点。可以围绕A点的角度展开，理由△AM’A’和△AN’A’’为等腰三角形，还有理由AA’和AA’’的垂直平分线分别是OB和OC，这样有两个90°，因此∠O与∠A互补。等等。该图形的变形在实际中考的比较多。B、已知角内侧有两点，在角两边分别求一点，使得四点围成的四边形周长最短；如图，已知A、B是∠COD内的两点，分别在∠COD两边求点M和N，使得四边形AMNB的周长最短。解决方法：1作A点关于OC的对称点A’2作B点关于OD的对

5、称点B’3连接A’B’交OC、OD于M’和N’，Tel：13013595080-1-解惑培优学堂（内部资料：数学）版权所有，翻版必究则M’和N’既是问题中所要求的M点和N点。证明：连接MA’很NB’，只要证明A’B’＜A’M+MN+NB’即可。详细证明过程（略）。该问题本身图形比较复杂，所以实际中变形形态见的少。掌握其图形作法和证明方法即可。2、造桥选址问题在河流的两岸有两点A、B，要在河上造一座桥，要求桥必须垂直于河岸（假设河两岸是平行的），问如何选取桥址M，N，使得AN+BM最小。解决办法：1将A（或B）向河岸的垂直方向平移一个河的宽度到A’；2

6、连接A’B，则A’B与河对岸的交点为M’，M’点即为桥址，3过M’做河岸的垂线，角对岸与N’，则M’N’就是所造桥的两岸的桥址；证明方法说明：如图可连接A’M，我们需要证明的的是AN+MM＞AN’+BM’。由作图过程可知，A’M’=AN’，所以只要证明A’M’+M’B＜AN+BM，即A’B＜AN+BM。连接A’M，则知道AN=A’N，所以A’M+MB＞A’A。造桥选址问题的关键在于往河岸垂直方向平移河宽的点与对岸点的连线与对岸的交点是桥址。所以这一点要求大家认识清楚。造桥选址问题的变形问题：如图，在A、B两点之间有两条河流，要在两条河流上分别找两座桥

7、CD和EF，要求桥与河岸垂直，且使AB两点间的距离最短。（也就是使AC+CD+DE+EF+FB最小）。解决办法：1将A向河流1的垂直方向平移河流1的宽度到A’；2将B向河流2的垂直方向平移河流2的宽度到B’；3连接A’B’分别交河流1的A的对岸于D’，交河流2的B的对岸于E’；则D’，E’分别是两条河流上造桥的桥址。过D’作河流1对岸的垂线，垂足为C’，则C’D’既是河流1上的桥；过E’做河流2对岸的垂线，垂直为F’，则E’F’既是河流2上的桥，此时A到B的最短距离是AC’+C’D’+D’E’+E’F’+F’B证明方法提示：连接A’D、B’E，证明A

8、’D+DE+B’E＞A’B’即可。这个问题很典型的诠释了我们强调的是往河岸垂直方向平移后的点与对岸点的连线与