2021年新高考数学复习讲练测4.2 利用导数研究函数的单调性（讲）（解析版）.doc

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1、专题4.2利用导数研究函数的单调性【考纲解读与核心素养】1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.3.高考预测：（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．4.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2）熟练掌握利用导数研究

2、函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1．利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．【典例剖析】高频考点一：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】第13页共13页(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【典例2】（2020·全国高考真题（文

3、））已知函数.（1）当时，讨论的单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；【规律方法】1．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.【变式探

4、究】1.（2019·浙江高考模拟）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有第13页共13页，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．2.（2019·天津高三期中（理））已知函数，。（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.(Ⅱ)∵函数，其中a>1，∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.②

5、若00得，01.故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.第13页共13页③若a−1>1，即a>2时，由f′(x)<0得,10得，0a−1.故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；当12时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1)

6、,(a−1,+∞)单调递增.【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．高频考点二：求函数的单调区间【典例3】（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间__________；单调递减区间__________.【答案】【解析】因为,故.令可得,即.又为增函数,故当时,,单调递减；当时,,单调递增.故答案为

7、：(1)；(2)【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法第13页共13页(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不