（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题3.2利用导数研究函数的单调性（讲）（含解析）

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1、第02讲利用导数研究函数的单调性---讲1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2.高考预测：（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．3.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问

2、题.知识点1．利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．【典例1】（2019年高考北京理）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【规律方法】利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或

3、）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.【变式1】（2019·浙江高考模拟）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．考点1判断或证明函数的单调性【典例2】（2019·天津高三期中（理））已知函数，。（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.(Ⅱ)∵函数，其中a>1，∴f(x)的定义域为(0,+

4、∞)，，令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.②若00得，01.故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.③若a−1>1，即a>2时，由f′(x)<0得,10得，0a−1.故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；当1

5、−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增；当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．【变式2】（2018届河南省洛阳市第三次统考）已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能

6、，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）由于.假设函数的图象与轴相切于点，则有，即.显然，将代入方程中，得.显然此方程无解.故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.（2）由于，当时，，当时，，递增，当时，，递减；当时，由得或，①当时，，当时，，递增，当时，，递减，当，，递增；②当时，，递增；③当时，，当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.考点2求函数的单调区间【典例3】（2018年全国卷II文）已

7、知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）见解析.【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（，）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f