2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题3.2 导数与函数的单调性（讲） 含解析

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1、专题3.2导数与函数的单调性1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.考点一求函数的单调区间【典例1】【2019年高考天津】设函数为的导函数，求的单调区间。【解析】由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．【答案】的单调递增区间为的单调递减

2、区间为.【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【变式1】【2019年高考浙江】已知实数，设函数，当时，求函数的单调区间。【解析】当时，．，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）。【答案】的单调递增区间是,单调递减区间是；考点二判断函

3、数的单调性【典例2】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数，讨论的单调性；【解析】．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.【举一反三】(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)

4、＞0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．【方法技巧】含参函数单调性的求法此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数

5、无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．【变式2】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若

6、a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，故当且仅当a2≥0，即0>a≥－2e时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e，0].考点三根据函数的单调性求参数【典例3】【2019年高考北京】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得

7、的值，然后利用可得a的取值范围。若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【答案】【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′