（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题3.3利用导数研究函数的极值，最值（讲）（含解析）

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1、第03讲利用导数研究函数的极值，最值---讲1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2.高考预测：（1）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；（3）适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2

2、）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.知识点1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f

3、′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【典例1】（2018年文北京卷）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是

4、的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即01时，随x的变化情况如下表：x+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x−

5、0+0−↘极小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【规律方法】求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．【变式1】（2019·北京高三期末（理））已知函数．（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的极值．【答案】

6、（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）因为，所以，所以.因为在处的切线方程为.所以，解得.（Ⅱ）因为，，所以，①当，即时，在恒成立，所以在单调递增；所以在无极值；②当，即时，在恒成立，所以在单调递减，所以在无极值；③当，即时，变化如下表：-0+单调递减↘极小值单调递增↗因此，的减区间为，增区间为．所以当时，有极小值为，无极大值.知识点2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为

7、函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【典例2】(2017北京，理19)已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)

8、，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【变式2】（2019·天津高三期中（理））已知函数在处有极值.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）在时，求函数的最值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为2，最小值为.【解析】(Ⅰ)由函数的解析式可得：，则，即：，解得：.经检验符合题意.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，，令可得或，由于：，，，故函数的最大值为，函数的最小值为.考点1函数极值的辨析【典例3】（2018·浙江高考模拟）已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a