2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题3.3 导数与函数的极值、最值（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题3.3导数与函数的极值、最值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。知识点1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点2.函数的极值与导数f′(x0)＝0条件x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极

2、值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点知识点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条

3、件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点一利用导数解决函数的极值1【典例1】(2019·哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，当a＝时，求f(x)的极值；211112－x【解析】当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，22x22x令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(

4、x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值。【方法技巧】运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.【变式1】(2019·河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】由

5、(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，11－axf′(x)＝－a＝(x>0).xx当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；10，当a>0时，当x∈a时，f′(x)>0，1，＋∞当x∈a时，f′(x)<0，1故函数在x＝处有极大值.a综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，1当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.a考点二已知函数的极(最)值求参数的取值范围【典例2】(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a

6、；②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】①因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.11，2若a>，则当x∈a时，f′(x)<0；2当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值.11若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，22所以f′(x)>0.所以2不是f(x

7、)的极小值点.1，＋∞综上可知，a的取值范围是2.【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【变式2】(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5