2021年新高考数学复习讲练测3.3 函数的奇偶性与周期性（讲）（解析版）.doc

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1、专题3.3函数的奇偶性与周期性【考纲解读与核心素养】1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3.高考预测：（1）判断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查．4.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.【知识清单】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f

2、(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例剖析】高频考点一：函数奇偶性的判断15/15【典例1】（广东省高考真题（理））设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论

3、恒成立的是A．+

4、g(x)

5、是偶函数B．-

6、g(x)

7、是奇函数C．

8、

9、+g(x)是偶函数D．

10、

11、-g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题设知:于是有，，，.【典例2】（2019·北京高考模拟（理））下列函数中为偶函数的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，f（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），是奇函数.对于B，f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4＝f（x），是偶函数.C、D是非奇非偶函数，所以，选B.【知识拓展】(1)奇、偶函数定义域的特点．由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首

12、先考虑定义域；(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；15/15②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数

13、是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【变式探究】1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非奇非偶函数.故选D.2.已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1).(1)求a的值；(2)判断f(x)的奇偶性．【答案】(1)a＝2；(2)f(x)为奇函数．【解析】(1)∵点(2,1)在函数f(x)的图象上，∴1＝2－，∴a＝2.15/15(2)由(1)知f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(－x)＝－x－＝－

14、x＋＝－(x－)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．高频考点二：函数奇偶性的应用【典例3】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是奇函数，x≥0时，．当时，，，得．故选D．【典例4】（2019·天津南开中学高考模拟（文））已知是定义域为[a，a+1]的偶函数，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）在[a，a+1]上是偶函数，∴﹣a＝a+1⇒a，所以f（x）的定义域为[，]，故：f（x）x2﹣bx+1，∵f（x）在区间[，]上是偶函数，有f（）＝f（），代入解析式可

15、解得：b＝0；∴．故选B．15/15【典例5】（2020·四川省泸县五中高三月考（文））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶