（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.3函数的奇偶性与周期性（讲）（含解析）

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1、第03讲函数的奇偶性与周期性---讲1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性..2.高考预测：（1）判断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角函数加以考查．3.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.知识点1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)

2、的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【典例1】（2019·北京高考模拟（理））下列函数中为偶函数的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，f（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），是奇函数.对于B，f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4＝f（x），是偶函数.C、D是非奇非偶函数，所以，选B.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性

3、的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立.【变式1】（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非奇非偶函数.故选D.知识点2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个

4、最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例2】（2019·广东高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】因为函数满足，所以关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，又由可得，所以，故，因此，函数是以4为周期的周期函数，所以，又因此.故选B【重点总结】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a

5、)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式2】（2019·河南高三高考模拟（理））设函数，则下列结论正确的是（）A．的值域为B．是偶函数C．不是周期函数D．是单调函数【答案】B【解析】函数的值域为，故A错误；

6、当为有理数时，是有理数，则当为无理数时，是无理数，则即为偶函数，故B正确；对于任意的有理数，当为有理数时，也是无理数，则当为无理数时，也是无理数，则即函数是以任意非0有理数为周期的周期函数，故C错误；显然不是单调函数，故D错误故选B.考点1函数奇偶性的判断【典例3】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，则（）A.是非奇非偶函数B.奇偶性与有关C.奇偶性与有关D.以上均不对【答案】A【解析】由题得函数的定义域为R.因为，所以所以【总结提升】判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：【变式3】【山东省青岛市2018年春季高

7、考二模】下列函数是偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.考点2函数奇偶性的性质及应用【典例4】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是奇函数，x≥0时，．当时，，，得．故选D．【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数

8、值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定