2021届新高考地区优质数学试卷分项解析13 数列（解答题）解析版.doc

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1、2021届新高考地区优质数学试卷分项解析专题13数列四、解答题25．（2021·河北唐山市·高三二模）已知为等差数列的前项和，，．（1）求；（2）记数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知等差数列的前n项和求基本量，写出即可；（2）利用裂项求和法求，应用放缩法证明不等式.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，∴由题意，有，得，．∴．（2），∴，．26．（2021·河南高三月考（文））已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和

2、【答案】（1）；（2）．【解析】法一：（1）将，和都表示成和的形式，代入等比中项，求出，进而求出通项公式；（2）代入数列的通项公式则，裂项相消求即可.法二：（1）利用前项和的性质，可得，代入等比中项可得，化简，再代入和，计算可得，从而求得通项公式；（2）同法一.【详解】解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，所以．又，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）因为，所以．法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为的等比中项，所以，从而．因为，所以，即，解得，所以．（2）第二问解法同上．27．（2021·全国高三专题练习（理））已

3、知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前26项和．【答案】（1），；（2）328.【解析】（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.（2）利用裂项相消法和分组求和可求的前项和.【详解】（1）由题意得：即，∴，∵是正项等比数列，∴，则，∴，.（2），则∴的前26项和为：.28．（2021·山东德州市·高三一模）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（

4、2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）得到当时，，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.【详解】（1）由题意：①当时，②①－②得，即，当时，满足上式，所以．（2）因为，所以，所以又，所以．29．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式求出公比，即可

5、得到数列的通项公式；（2）先利用（1）得到的通项公式，再利用等比数列求和公式和裂项相消法可得，最后利用，，即可得证.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以；（2）证明：因为，所以，因为对，，，∴，即．30．（2021·广东湛江市·高三一模）已知数列{an}满足，a2-a1=1.（1）证明：数列是等比数列；（2）若a1=，求数列{an}的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用证得结论成立.（2）利用累加法求得的通项公式.【详解】（1）依题意，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以

6、.（2）由（1）得，所以，所以.即.31．（2021·广东深圳市·高三一模）设数列的前n项和，满足，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）将两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明；（2）由（1）求出，进而可得，当时，，再检验是否满足，进而可得的通项公式.【详解】（1）由可得，即，所以是以为首项，以为公差的等差数列，（2）由（1）可得，即，当时，，当时，所以不满足，所以，【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，注意检验是否满足，不满足则需要分段

7、.32．（2021·全国高三专题练习）已知数列的前项和为．（1）证明：数列为等比数列，并求出．（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；；（2）．【解析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）由已知，整理得，所以，令，得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）知，，当时，，当时，，所以所以所以．33．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知数列中，，且.记，求证：（1）是等比数列；（2）的前项和满足：.【答案】（1

8、）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）将变形为，并计算的值，由此根据定义可证明是等比数列；（2）先根据等比数列的前项和公式求解出，然后根据并采用裂项相消的方法求解出的前项和，最后分析的前项和并完成证明.【详解】（1）证明：由，得，又，所以是以2为首项，2