组合题选讲-大字稿.docx

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1、周敏泽2014年8月组合题选讲试题选讲：1．已知一凸n边形的任意相邻两个内角的差都是20°．试求n的最大值．(2014年江苏)分析——求最值，两个方面的叙述；n越大，内角越大，不能无限大，凸边形的内角小于180；从最大内角开始，转一圈，减多少，得增多少；能估计最值的大小；怎么构造？解：(1)证明n≤34．记凸n边形为A1A2…An，则A2＝A1±20°，A3＝A2±20°＝A1±20°±20°，…，(“±”为“+”和“－”中的一个)n个项相加n个项相加An+1＝A1±20°±20°±…±20°＝A1，即±20°±20°

2、±…±20°＝0°，则“＋”号的个数与“－”的个数相等，所以n为偶数．设最大的内角度数是x，则其相邻内角的度数是x－20°，由题意，任意相邻两角的度数不相同，且其和不超过2x－20°，平均不超过x－10°，故A1＋A2＋…＋An＝(n－2)·180°≤n(x－10°)，所以nx≥(n－2)·180°＋n·10°．因为x＜180°，所以n·180°＞nx≥(n－2)·180°＋n·10°，14周敏泽2014年8月从而n＜36，又因为n为偶数，所以n≤34．(2)证明n=34能取到．不妨设凸34边形内角中度数只有两个值x和

3、x－20°，相间出现，如图构造，圆O的内接正34边形A1B2A3B4…A33B34中，Ak+1AkAk-1BkOAk+2Bk+2延长OBk到Ak使得∠BkAk+1Ak=5°，k=2，4，…，34；则x－20°=∠A2i-1A2iA2i+1=－2×5°＞0°，x＝∠A2iA2i+1A2i+2=+2×5°=＜180°，凸34边形A1A2A3A4…A33A34满足条件．由(1)(2)可知，n的最大值为34．2．设S={1，2，3，…，11}，对S中的每一个7元素子集，将其中的7个数从小到大排列，取出中间的数，则所有取出的中间

4、数的和等于．(2014年上海)分析——哪些数会出现在中间？这些数出现几次？解：任一个7元素子集按大小排列，中间的数大于等于4小于等于14周敏泽2014年8月8；中间数为4时，子集合的个数有CC；中间数为5时，子集合的个数有CC；中间数为6时，子集合的个数有CC；中间数为7时，子集合的个数有CC；中间数为8时，子集合的个数有CC；所有中间数的和为4•CC+5•CC+6•CC+7•CC+8•CC=12•(35+80)+6•100=12•(35+80)+6•100=6•330=19803．将一个正2014边形的每一条对角线染

5、上n种颜色中的一种，使得对于任何两条在多边形内部有交点的对角线，他们的颜色不同．求n能取得的最小可能值．(2014年英国)分析：可以先研究正六边形或正12边形．A1A2AxAi-1A1006+iAyAzAiA1007+i解：设正2014边形A1A2…A2014的外接圆为圆O，14周敏泽2014年8月对角线中有1007条是圆O的直径，均交于圆心O．若n种颜色染色后使得对于任何两条在多边形内部有交点的对角线颜色不同，则此1007条直径不同色．所以n≥1007．与直径AiA1007+i平行的对角线Ai+kA1007+i-k可

6、染同种颜色，对角线Ai+k-1A1007+i-k介于两条平行的对角线Ai+k-1A1008+i-k、Ai+kA1007+i-k之间，可染同色．其中k=0，±1，±2，…，±502．i=1，2，…，1007．所有对角线按一侧正2014边形的顶点数的奇偶分为两大类，按方向可分为2014类，对给定的i，一种颜色染遍相邻两个方向上所有对角线，i的值不同，对应的两个方向的对角线不重叠，故以上方案给对角线染色遍及了所有对角线．故1007种颜色可按要求染色．综上，n的最小值为1007．4．对平面上的每个点染红色或蓝色．证明：存在同色

7、的三个点构成的三角形，其三边长分别为1，2，．(2013年泰国)14周敏泽2014年8月分析：三边长1，2，，构成特殊直角三角形，正三角形的一半．CBDOAFEBADG以2为边作正三角形，三个顶点中的两个必同色；设A，D同色；以AD为直径作圆，A，B，C，D，E，F六等分圆，若B或C或E与A同色，则△ABD或△ACD或△ADE即为所求；否则△BCE为所求．——1995年全国联赛：平面上每个点染红、蓝两色之一．证明：存在两个相似三角形，相似比为1995，每个三角形三个顶点同色．5．8个人参加一次聚会．(1)如果其中任何5

8、个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？(2006年女子数学奥林匹克)14周敏泽2014年8月分析：(1)从何处入手？极端、反面；(2)结论是肯定还是否定？特殊构造．解：(1)分类讨论：设8个人A1，A2，A3，A4，A5，