高三数学综合题选讲.doc

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1、高三数学综合题选讲综合题是高考中的一个重点内容，也是一个难点内容，它既是学科间内在联系和知识的综合，又侧重能力的综合；既有代数、立体几何、平面解析几何三支分科的综合，又拓展到与自然科学、社会科技的综合，甚至是初等数学与实际应用的信息、数据、图表、情景的综合．在有限的复习时间内进行的高效的复习，关键在于科学地综合，把分科内网络化知识综合成学科内的立体化的知识思维网络．比如，函数是高中数学的主线，它将不等式、数列、三角函数、解析几何中的曲线等知识串联起来，而且辐射到中学数学的每一部分内容，它是高中数学的重点知识．用代数作为工具

2、，研究几何问题，并扩展到更宽广的代数领域，已成为高考命题方向，将代数与几何融于一体反映了数学各分科的交叉和整合，体现了数学知识网络化的思想，以及在知识网络交汇设计试题的高考命题特点．这里分不清是用代数方法研究几何问题，还是用几何方法处理代数问题，有的只是代数与几何的完善结合．这是考查综合运用数学知识能力和数学潜能的更高层次的要求．高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目的的考查．复习时应注意：1．切实掌握基础知识，提高解题操作技能．2．注重数学思想和方法的理解和掌握．数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵

3、在数学知识发生、发展和应用的过程中．高考试题中，对数学思想和方法的考查也蕴含在其中，很少直接表达．数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化．数学思维方法主要包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观察法、试验法、特殊化法等等，数学方法主要指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些具体方法．3．加强数学能力的培养和提高．（1）学习新的数学知识的能力，这是指通过阅读理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则等），能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力．（2）探究数学问题的能力是

4、指运用学过的数学知识通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对数学问题进行探索和研究的能力．（3）应用数学知识解决实际问题的能力指正确理解问题的背景，分析实际问题给出的信息，进行提炼加工，建立相应的数学模型，运用所学的数学知识和数学方法解决问题．（4）数学创新能力指的是运用已知信息开展数学思维活动，并产生某些新颖的有创见的能力．一、函数与不等式函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容之一，函数的基础知识有：定义域、对应法则、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等．通过函数图象，加深对函数性质的

5、理解，深化数形结合的思想．不等式不仅是高中数学的重要内容，也是继续深造的重要基础，所以不等式一直都是高考命题的重点之一．内容主要包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用．不等式和数学其它模块联系紧密，是重要的数学工具，将基本不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势．1．若时，不等式恒成立，求、的取值范围．分析：分离参数转化为求函数最值问题．解：，当时，不等式成立；当时，，记，（），则，又令，则，（）．则，时，，∴，同理求得：．说明：利用求导求最值运算较繁，应先考虑换元．2．如果不等式的

6、解集为（），（其中），求不等式的解集．分析：不等式问题与方程问题联系十分紧密，可考虑用韦达定理解题．解：方法一由已知是的根，∴，则，不等式即为，显然，∴，∴，∴．方法二即为（原不等式中显然不成立），即，由已知，∴．说明：方法一通过韦达定理消去了不等式中的参数，，，转化为与有关的问题．方法二将不等式变形用代原不等式中的，求出的范围．3．已知函数，．（1）求的最大值；（2）时，的解集为．解：（1）时，，记，，图象对称轴，，∴在[0，4]上单调减，∴；时，，；时，如果，即时，，①即时，，由于，∴，②时，，时，，，∴，时，，，∴，

7、③时，，又时，，．综上所述．（2）1x42O时，草图如下，由，可令得，又令得，由图可知：的解集为：．说明：函数问题中出现参数和绝对值符号要较多层次地进行分类讨论，本题中引起讨论的原因有：对称轴位置、去除绝对值符号、两数大小关系等．第2小题主要借助于数形结合的思想解决问题．4．设实数、使方程有实根，求的最小值．解：原方程可化为，①容易证明，将（，）看作动点，方程①表示一条直线，设原点到距离为，，（记）∴，取“=”时，，，此时，即或，此时或，综上的最小值为．说明：本题也可用二次方程根的分布来解，在上述解法中变换主元使问题中参数

8、、消去，简化了解题过程．5．如果函数，求最大的（），使得存在只要时就有．解：时，恒成立，即，即，即，即，对恒成立，∴，，∴，①要使存在即，∴，∴的最大值为9．说明：本题也可由数形结合求解，但不易说理，这里用分离变量法得出不等式①，再由的存在性求出的最大值．6．若对，恒成立，则的最小值为．解：问题即为，时