第12讲 综合题选讲(二)

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1、小学奥数培优：以德为先以礼育人以知建树以生为本善学习会思考懂生活知做人勤实践能创造第十二讲综合题选讲（二）月日课次◇专题知识简述◇解综合题，除了要有牢固的解基本题的基础之外，还要求解题者有创造性意识，有构造（构思）能力，有探索能力，要善于把复杂的问题化归为较简单的问题。◇例题解析◇例1任意100个自然数，从中是否可找出若干个数（也可以是一个，也可以是多个），使得找出的这些数之和可以被100整除？说明理由。　　分析100太大，先从小一些的数分析。　　如果是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时结论成立；当其中没有偶数时，这两个

2、奇数之和是偶数，这两个数之和能被2整除，可见对于两个自然数，结论成立。　　如果有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，如果这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时可选出这3个数；如果这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因此，对于3个整数的情形，结论成立。　　类似的分析可知，对于4个整数的情形，结论成立.不过分析的过程要更长些。　　按这种思路分析下去，虽然能够依次断定对于5个，6个，7个，8个，…整数时结论成立，但是还不能说

3、“对于100个整数结论也成立”.因为我们不可能在短时间内一直验证到100.看来要另外设计证题的方法.虽然没有证出原来的题目，但是从简单情况可猜想原题的结论应当是肯定的。　　因为本题结论是与若干个数之和有关的，由此可联想构造“若干个数之和”形式的数.再进一步考虑被100除后的余数。　　设原来的100个数是a，a，…，a。考虑b，b，…，b，其中　　b=a，b=a＋a，b=a+a+a，　b=a+a+a+…+a　　很显然每个bi（i=1，2，…，100），以及它们中的任意两个之差（例如b5-b2=a3+a4+a5），都是若干个原来的数之和。　　

4、考虑b1，b2，…，b100被100除后各自的余数。　　如果有一个数，例如b1，它能被100整除，那么问题就解决了。　　如果任一个数被100除之后的余数都不是0，那么100个数最多可能余1，余2，…，余99，所以至少有两个数，它们被100除后的余数相同.这时，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，…，a100中存在若干个数，它们的和可被100整除。　　说明：上面的论证方法利用了余数类，同余，抽屉原理，这些解数学竞赛题中常用的方法.在考虑b1，b2，…，b100时，采用了构造法。　　应当指出，题目中的“100”不是本质的，改成200

5、，300…，甚至改成任一自然数n，结论也成立，证法相同。例2某班学生有下列特点：任何四个人中，都有一个人与另外三个人通过电话.证明：全班之中的任意四个人中，可找到一个人，这个人与全班所有人都通过电话.分析这个题目中“数”很少，要论证的结论“任意四个人中可找到一个人，这个人与全班所有的人都通过电话”又比较强，为此，要充分利用“任何四个人中都有一个人与另外三个人通过电话”的已知条件。　　画个示意图，人用点表示，两个人之间通过电话就用这两点的实连线表示，否则就用虚线表示.如果这些学生之间的任何两个人都有线相连，那么问题已解决；-5-小学六年级编

6、订者：杨威小学奥数培优：以德为先以礼育人以知建树以生为本善学习会思考懂生活知做人勤实践能创造如果有四个人A、B、C、D有如下图所示的关系：那么D与A、B、C都通过电话，考虑除A、B、C、D外的任何一个人E.D、E之间一定通过电话.否则A、C、D、E四人与已知条件不符。由于E的任意性表明D与所有人通过电话。　　如果有四个人A、B、C、D，它们间的关系如下图所示，与上图的证法类似，可知D与所有人通过电话。我们已讨论了所有可能的情形，因此综上所证知：任意四人中，总有一个人，这个人与所有人通过电话。说明：我们采用的证明方法是用图这种直观方式表达关

7、系和逻辑，把人和通电话分别用点、边表示，未通电话用虚线表示.这样便于对照图形分析问题.这种方法是图论的基本方法.在上述证明中，使用了分情况论证（分情况讨论）的方法.这是推理论证的基本方法之一。例3甲、乙两所学校的学生中，有些学生互相认识.已知甲校的学生中任何一个人也认不全乙校的学生，乙校的任意两名学生都有甲校中的一个公共朋友.问：能否在甲校中找出两个学生A、B，从乙校中找出三个学生C、D、E，使得A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C？说明理由.（认识是相互的，即甲认识乙时，乙也认识甲）。分析如果选乙校学生中任意两个人为C、D，那

8、么甲校中有认识C、D的人，设它为A.因为A认不全乙校学生，所以在乙校中有学生E，A不认识E.这时A认识C、D，不认识E.按这个思路，再考虑选B时有些麻烦.虽然对于乙校的D、E，可知甲校中有学生