奥数：第十五讲综合题选讲

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1、第十五讲综合题选讲　　在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的发展趋势.因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，并且通过解题培养创造性。例1如右图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段，这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7.例如以O为始点，数码2代表形成线段OC的运动，数码7代表形成线段OH的运动等等。　　在图（a）中画出了从P点出发，数码序列0

2、01223355的轨迹图形。请你在图（b）的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发.依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形.以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出而积不小于2的正方形一共有多少？　　分析此题关键是看懂题目，即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义.如右图：　　数码0代表线段OA.　　数码1代表线段OB。　　数码2代表线段OC。　　数码3代表线段OD。　　数码4代表线段OE。　　数码5代表线段OF。　　数码6代表线段OG。　　数码7代表线段OH。　　这样，006756442312所

3、对应的轨迹图形为封闭折线，为清楚起见标上字母，即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M，如右图。　　因为在S边界上有12个格点（M，M1～M11），内部有5个格点，为N1、N2、N3、N4、N5.这17个点中可形成面积大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。分类①面积为2的共有5个：　　（M1M3N3M11），　　（M3M4M5M3），　　（M5M7M9N3），　　（M9N3M11M10），　　（N1N2N5N4）。　　②面积为4的共有3个：　　（MM2N4N2），　　（M3M5M9M11），　　（N4M

4、6M8N2）。　　③面积为5的共有4个：　　（MM3N5M10），　　（M2M11N5M4），　　（N1M10M8M5），　　（N1M9M6M4）。　　④面积为8的共有1个：　　（M1M10M7M4）。例2一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”.比如16=52-32，16就是一个“智慧数”.在自然数列中从1开始数起，试问第1993个“智慧数”是哪个数？并请说明理由？　　分析与解答　　∵1不能表示为两个自然数平方差，　　∴1不是“智慧数”。　　①对于大于1的奇数2k+1，　　有2k＋1=（k＋1）2-

5、k2（k=1，2，3，…），　　∴大于1的奇数都是“智慧数”。　　②对于大于4且被4整除的偶数4k，　　有4k=（k＋1）2-（k-1）2（k=2，3，…），　　即大于4的被4整除的数都是“智慧数”.　　而4不能表示为两个自然数的平方差，　　∴4不是“智慧数”。　　③对于被4除余2的数4k＋2（k＝0，1，…）　　设4k+2＝x2-y2＝（x+y）（x-y），x、y∈N。　　当x、y奇偶性相同时，（x＋y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除，矛盾。　　当x、y奇偶性相异时，（x＋y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，又

6、矛盾。　　∴不存在x、y∈N，使得x2-y2=4k+2，即4h＋2形的数均不为“智慧数”。　　在自然数列中前四个自然数中，只有3＝22-12为“智慧数”。　　由①②③知，从5开始的每连续四个数中有三个“智慧数”，故四个数为一个周期。　　∵1992＝3×664，　　∴从5开始有664个周期，　　再加上1，2，3，4便共有665个周期，　　而4×665＝2660，　　因此，第1993个“智慧数”是2660。例3有一列数：1，3，4，7，11，18，…（从第3个数起，每个数恰好是它前面相邻两个数的和）。　　①求第1993个数被6除余

7、几？　　②把以上数列按下述方法分组（1），（3，4），（7，11，18），…（第n组含有n个数）.问第1991组的各数之和被6除余数是几？　　分析①如果能求出这个数列第1993个数是多少，当然它被6除余数就很好求了.但是，观察数列的构造规律，很难找出求某一项的一般公式.而数列的前几项是已知的，它们被6除余数很容易写出来，再根据“两个数之和被6除的余数，等于这两个数被6除余数之和被6除的余数”就不难依次写出原数列被6除所得余数组成的数列.我们再观察“余数数列”的构成规律：　　1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3

8、，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，…　　只要出现有相邻两个数与前面某相邻的两个数相同且顺序也相同，以后就会依次出现前面同样的一个“片段”，就是说出现“周期”性变化.经过观察、分析，发现“余数数列”每24个数呈现周期性重复：　　1，3，4，1，5，…，2