奥数：第十二讲 数字综合题选讲

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1、第十二讲数字综合题选讲　　数字指的是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个．数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔．　　在解答数字问题时，主要用到下面一些知识：　　①奇偶数的性质：奇数±奇数=偶数　　偶数±偶数=偶数　　奇数±偶数=奇数　　②自然数被9、11整除的特征：　　一个自然数若它的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个自然数必能被9整除．反之也成立．　　（更一般地，一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同．）　　一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个自然数必能被11整除．反之也成立．　　③自

2、然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自然数必属于某一类而且只能属于一类．　　此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，…等等一些知识．例1一个四位数，它的个位数字为2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？　　式为：　　这时，此题转为一个数字迷的问题．突破口选在个位．　　个位上：c+9=12，可得出c=3．　　十位上：b+8+1=13，可得出b=4．　　百位上：a+8+1=14．可得出a=5．　　千位上：2+2+

3、1=5．　　因此，所求的四位数为5432．例2自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、…，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、…．　　①（A）数列中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第多少个数字？　　②（B）中的第100个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？　　③到（B）的第100个数字为止，数字3共有多少个？　　解：①把（A）中的1～100这100个自然数进行分类：　　一位数：1～9共9个数字．　　两位数：10～99共20×90=180

4、（个）数字．　　三位数：100共3个数字．　　因此，（A）中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第9+180+3=192（个）数字．　　②（B）中的前100个数字，把所有一位数减去，还剩100-9=91（个）数字．　　由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由91÷2=45……1可知，（B）中的第100个数字，是（A）中的第46个两位数的十位数字．　　46+10-1=55，故（B）中的第100个数字为（A）中的55的十位数字，它是5．　　③由于55的十位数字不是3，所以可考虑1～54这54个自然数．　　个位为3的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有6个3．

5、　　十位为3的自然数有：30～39，十位上共有10个3．　　因此，到（B）的第100个数字为止，数字3共出现了：6+10=16（个）．例3从1、5、9、13、…、993中，任意找出199个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？　　解：在1、5、9、…、993中，共有249个自然数．　　由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类：　　一类是个位数字为5的：5、25、…、985共50个自然数．　　另一类是个位数字不为5的：共有249-50=199（个）自然数．　　任意取出的这199个自然数分成两种情况进行考虑：　　①若这199个自然数中，含有个位数字为5的

6、，则这199个数的乘积的个位必为5．　　②若这199个自然数中，不含个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位数字为：　　　　1×9×3×7的个位数字为9，则　　　　综上所述，这199个数的乘积的个位数字为3或5．　　说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案．对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出198或200个数，结论又是怎样？例4把1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？　　分析为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母

7、a、b、c、d、e、f来表示．　　因为在这六个数字中，1最小，6最大，所以先考虑1和6这两个数字．　　1只能填在a处，因为1若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比1还小的数填在1的左边或上面．6只能填在f处（同理）．　　现在考虑5.5只能填在c处或e处．因为5若放在b处或d处，则从剩下的2、3、4中找不出比5大的数填在e处．　　①若c=5，则b、d、e三格只能填2、3和4这三个数字，因为e＞b，且e＞d，所以e=4，共有以下两种填法：　　b=2，d=3，e=4和b=3，d=2，e=