奥数：小学奥数系列：第十五讲数学竞赛试题选讲

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1、第十五讲数学竞赛试题选讲例1计算：1+2+22+23+…+29+210分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．解：设S=1+2+22+23+…+29+210（1）　　用2乘以上式的两边可得　　2S=2+22+23+…=210+211（2）　　用（2）式减去（1）式的两边，得　　S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+…+29+210）　　=211-1　　=2048-1　　=2047．例2计算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0

2、.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．解：设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1）　　用2乘以上式的两边可得　　2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0

3、.5）9（2）　　用（2）式减去（1）式的两边，得　　S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10　　=1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10　　再设A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3）　　用2乘以（3）式的两边可得：　　2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）　　用（4）式减去（3）式两边，得　　A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.9

4、9609375　　于是，有：　　S=1+1.99609375-19×（0.5）10　　=2.99609375-19×0.0009765625　　=2.99609375-0.0185546875　　=2.9775390625．例3计算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂项法，有　　11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，　　12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，　　13×14×

5、15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，　　…　　100×101×102　　=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，　　把这90个等式相加，得　　原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4　　=25×101×102×103-10×11×3×13　　=26527650-4290　　=26523360．例4规定a*b=ab（其中a、b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=53=125　　125*

6、2=1252=15625，　　即有　　（5*3）*2=15625　　又由　　3*2=32=9，　　5*9=59=1953125　　即有　　5*（3*2）=1953125．　　说明：规定新的代数运算是一类以近世代数为基础的新题型，近年来多次出现于国内外的数学竞赛题中．解这类问题的关键在于牢记新运算的定义，在计算时严格遵照规定的法则代入数值，遇到括号要优先运算．　　值得注意的是，有些规定的新运算未必满足交换律或结合律．譬如，本例实质上是乘方运算，由计算结果可知　　（5*3）*2≠5*（3*2）　　这就是

7、说，本例规定的运算不满足结合律．又如，运算a△b=3×a-b÷2就不满足交换律，事实上　　1△2=1×3-2÷2=3-l=2，　　2△l=2×3-1÷2=6-0.5-5.5，　　即　　1△2≠2△1．　　　　　　并且　　　　　　　=（a×b+a+b）×c+（a×b+a+b）+c　　=a×b×c+a×c+b×c+a×b+a+b+c，　　　　　=a×（b×c+b+c）+a+（b×c+b+c）　　=a×b×c+a×b+a×c+a+b×c+b+c，　　从而有　　=5+7=12，　　因此　　例5互为反序①的两

8、个自然数之积是92565，求这两个互为反序的自然数．注释：①例如1204与4021是互为反序的自然数，而120与21不是互为反序的数．解：①这两个自然数必是三位数．　　首先，这两个自然数不能是小于100的数，因为小于100的两个最大的反序数是99和99，而99×99＜92565．　　其次，这两个自然数也不能大于998，因为大于998的两个最小的反序数是999与999，而999×999＞92565．　　　　由于a×c的个位数字是5，可以推得：　　a×c=1×5或3×5或