法向量的应用.docx

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1、探析法向量在立体几何解题中的应用一、用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，n是aEa和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是EFndbFn例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长AB2，求异面直线BD和SC之间的距离.分析：建立如图所示的直角坐标系，则zA(2,2,0)，B(2,2,0)，S2222C(2,2，D(2,2，S(0,0,2).uuur(2,2,0)，2,0)2,0)DB22CDOruuuruuur22rruuurruuur0(.

2、(x,y,1)，且y，则nDBCS,,2)令向量nnDB,nCSruuur，22AxBnCS0(x,y,1)(2,2,0)0xy0r(x,y,1)(22,2)0，xy2，x2，n(2,2,1).异面直线BD和SC之间的距离为：,220y22uuurr(2,2,0)(2,2,1)11025dOCn22r(2,2,1)(2)2(2)212.n5例2、如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1，BB1的中点，求（1）CM与D1N的余弦值；（2）异面直线CM与D1N的距离。（

3、2004年广州调研试题）分析（2）：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）CM(2,2,1)，D1N(2,2,1)D1CD1M(2,0,1)设法向量n(x,y,z)A1B则2x-2y+z=0x=0MDNC2x+2y-z=0z=2yAB11D1Mn225令y=1得n(0,1,2)，依公式得异面直线CM与DN的距离是d155n二、用法向量求点到平面的距离A1如右图所示，已知AB是平面α的n一条斜线，n为平面α的法向量，则CBA到平面α

4、的距离为dABnαn例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。分析：建立如图所示右手直角坐标系，G则E（4，-2，0），F（2，-4，0），EDnCG（0，0，2），B（4，0，0），AFBBE=（0，-2，0），EG=（-4，2，2），FG=（-2，4，2），设平面EFG的法向量n=（x,y,z），则由nEG0，nFG0得-4x+2y+2z=0x=1z3-2x+4y+2z=0y=1z3不妨设z=3，则

5、n=（1，-1，3）,所以依公式可得所求距离为BEn(0,2,0)(1,1,3)2211d(1,1,3)1111n三、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。例4、已知边长为42的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。分析：因为AE∥平面α，所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离，建立如图右手直角坐标系，则A（0，0，0）

6、，P（0，0，2），E（26，0，0），F（6，2，0），PAE26,0,0,PF6,2,2,AFAF6,2,0,设法向量n=（x,y,z），BEC则由nAE0，nPF0得，26x0x=026x2y2z0y2z不妨设防z=1，则n=（0，2，1）,所以依公式可得所求距离为AFn(6,2,0)(0,2,1)223d(0,2,1)33n四、用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。例5、棱长为1的正方体ABC

7、DA1B1C1D1中求证：平面1C∥平面A1C1D；.AB（1）求平面z111间的距离.D11ABC与平面ACDC分析(2)：建立如图所示的直角坐标系，A1B1则A、D、A1、C1的坐标分别是（1，0，0）、（0，0，0）、（1，0，1）、DCy（0，1，1），∴DA1(1,0,1)，ABDC1(0,1,1)，AD(1,0,0)xD间的距离转化成点A到平面ACD的距离。设平面ACD，将平面AB1C与平面AC111111r的一个法向量n(x,y,1)，ruuuur0x1，则nDA1，即(x,y,1

8、)(1,0,1)0ruuuurnDC10(x,y,1)(0,1,1)0y1uuurrr平面AB1C与平面A1C1D间的距离dADn(_1,0,0)(1,1,1)3.rn(1,1,1)，(1)2(1)212n3五、用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与αn1n2所成的角相等或互补，所以首先n2β必须判断二面角是锐角还是钝角。例6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=5，且PA