法向量的应用文本资料

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1、探析法向量在立体几何解题中的应用一、用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是aEa和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是bFABCDOS例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长，求异面直线BD和SC之间的距离.分析：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，.，.令向量，且，则，，，，.异面直线BD和SC之间的距离为：.例2、如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1，BB1的中点，求（1）CM与D1N的余弦值；（2）异面直线CM与D1N的距离。

2、（2004年广州调研试题）分析（2）：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1），D1C1设法向量A1B1则2x-2y+z=0x=0MDNC2x+2y-z=0z=2yAB令y=1得，依公式得异面直线CM与D1N的距离是二、用法向量求点到平面的距离A如右图所示，已知AB是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则CBA到平面α的距离为α例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

3、分析：建立如图所示右手直角坐标系，G则E（4，-2，0），F（2，-4，0），EDCG（0，0，2），B（4，0，0），AFB=（0，-2，0），=（-4，2，2），=（-2，4，2），设平面EFG的法向量=（x,y,z），则由，得-4x+2y+2z=0x=-2x+4y+2z=0y=不妨设z=3，则=（1，-1，3）,所以依公式可得所求距离为三、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。例4、已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点

4、，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。分析：因为AE∥平面α，所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离，建立如图右手直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，0），P,,AF,设法向量=（x,y,z），BEC则由，得，x=0不妨设防z=1，则=（0，，1）,所以依公式可得所求距离为四、用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。例5、棱长为的正方体中.

5、求证：平面AB1C∥平面；AA1DCBB1C1D1（1）求平面与平面间的距离.分析(2)：建立如图所示的直角坐标系，则A、D、A1、C1的坐标分别是（1，0，0）、（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1），∴，，，将平面与平面间的距离转化成点A到平面的距离。设平面的一个法向量，则，即，，平面与平面间的距离五、用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与α所成的角相等或互补，所以首先β必须判断二面角是锐角还是钝角。例6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥B

6、C，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2a，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P（0，0，a）,D(0,3a,0)，PC(a,a,0),,AED,,BC取平面ACD的一个法向量，设平面PCD的法向量是、，所以得所以不妨取得，从而计算得易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是六、用法向量求直线与平面所成的角如图，要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦

7、，易知θ=或者例7、如下图，已知正四面体ABCD的边长为2，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成的角。分析：作AO⊥平面BCD，连结OD，并且A过O作OF∥BC交CD于F，建立如图所E示右手直角坐标系，则O（0，0，0），BODE（0，，）,CF易取得平面BCD上的一个法向量，所以，观察与的方向，易知EC与平面BCD所成的角是七、用法向量证明两平面平行问题如果有一向量垂直于平面α，则向量叫做平面α的法向量。要证两个平面平行，只需证这两个平面同时垂直于它们的法向量。例8、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A

8、1BD∥平面B1D1C分析：作如图所示右手直角坐标系，DC则各点坐标是A1（1，0，0），ABD1（0，0，0），B1（1，1，0），D1C1B（1，1，1），D（0，0，1），A1B1C（0，1，1），则=（0，1，1），=（-1，-1，0），设平面A1BD有一法向量=（x,y,z），则y+z-x+-