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1、法向量的应用概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直，求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。一．证线面平行方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量垂直。例题：如图（2），已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，AyzxCDFE且BM=BD，AN=AE，求证：MN∥平面CDENMB证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,则有B（3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c
2、),E(0,3b,3c)所以=（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c)=(-a,b,0),=(0,-b,-c)所以,又平面CDE的一个法向量是=（0，3b，0）,由=（2a,0,-c）（0，3b，0）=0,所以又MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDECBAOC1B1O1A1EFyxzF1二．证面面平行E1方法：证两个平面的法向量平行。例题：如图，正方体中，是中点，求证：平面∥平面证明：设分别是平面，平面的一条法向量，设正方体的棱长是2则E（2，1，0），F（1，2，0），（2，2，2），（1，0，2）（0，1，2），所以，，由和求得，，所以所以
3、∥，所以两个平面平行。一．证线面垂直方法：证直线上的方向向量与平面的法向量平行。例题：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长AB=2，E，F分别是，DC的中点。⑴求证：D1F⊥平面AED；zxy证明：建立空间直角坐标系D-xyzABCDA1B1C1D1EF则A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），，设是平面DAE的一条法向量则由求得因为，所以D1F⊥平面AED二．证面面垂直方法：证两个平面的法向量垂直。zPDCBA例题：`如图四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1y求证：面
4、PAD面PCDx证明：建立空间直角坐标系A-xyz,因为PA=AD=DC=AB=1所以B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）则，，设是平面PCD的一条法向量则由得又容易证得是平面PAD的法向量又，所以面PAD面PCD一．求线面角方法：设直线与平面成的角为，直线的方向向量与平面的法向量成的角为，则有例题：如图，正方体，求所成的角。分析：建立空间直角坐标系,求出平面的一条法向量，再求，所以一．求二面角方法：设为两个平面的法向量，为二面角的平面角，则符号取决于是锐角还是钝角。zxyFEA1O1B1C1OABC例题：如图，正方体，
5、求二面角的大小。分析：建立空间直角坐标系O-xyz,可求得平面和平面的法向量分别是（-1，1，1），又由图可知该平面角为锐角MN所以二．求点到平面的距离方法：在平面内取一点N，设平面的法向量为，则向量在方向上的射影的绝对值即为点M到平面的距离d=,例题：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，由此，建立空间直角坐标系C－xyz．则可写出各点坐标，从而求得平面GEF的一条法向量是=（1，1，3）=（0，-4，2），求得d=M一．
6、求异面直线的距离方法：在异面直线上取两点M，N，是的法向量，则在方向上的投影N的绝对值即为异面直线的距离。即d=例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．分析：如图，建立空间直角坐标系－xyz，则有，，，．∴ ，，．设n是AC与的法向量，则又n，n，可求得n=(1,1,-1),所以=即直线与AC的距离为总结：由以上可知，利用法向量去解立体几何问题，省去了作辅助线的烦恼，把复杂的几何问题转化成了简单的向量运算。特别是在求角和求距离的问题上，尤为体现。
