平面法向量的应用和求法

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1、万方数据(2)证明：y=F(x)的图象关于点P(詈，o)中二心对称．证明(1)设任意并l，髫2∈R，且xl<石2，则一戈l>一名2，所以a—zl>a一石2．因为以x)是R上的增函数，所以以x。)<以艽2)，且以a—zI)>以a一戈2)，又F(x1)一F(x2)=八戈1)一八戈2)+八a一茗2)一以a一算1)，因为以石。)一八算2)<0以a一石2)一八a一戈1)<0，所以F(菇。)一F(石2)<0，展pF(x1)

2、一Y)，因为y=F(算)=八石)一，(a—x)，所以八a一菇)一氕a一(a一菇)]=／

3、数单调性的目的．平面法向量的应用和求法渭源县第一中学748200乔凤珍向量作为解题工具，在立体几何解题中有着重要的作用．平面法向量的引入对立体几何中求空间角、空间距离，证明垂直、平行等问题的解答变得快速而准确，每年高考中12分的立体几何题解题思路将会变得更加简捷明了．1平面法向量的求法平面的法向量是指与平面内的两条相交向量都垂直的一条向量．求平面的一个法向量厅是解题的一个关键，事实上和平面垂直的向量有无穷多个，我们只需一个就可以了，所以在具体问题中我们应该根据平面与坐标轴的关系(平行、垂直)来设法向量的坐标。怎么设下面来具体说明1)当平面经过或平行某

4、一条坐标轴时，如：经过或平行石轴，则可设法向量为甩=(0，Y，1)；经过或平行Y轴，则可设法向量为厅=(戈，0，1)；经过或平行二轴，则可设法向量为刀=(茗，1，0)．2)当平面与某一条坐标轴垂直时，如：与z轴垂直，则可设法向量为刀=(1，0，0)；与y轴垂直，则可设法向量为n=(0，l，O)；与z轴垂直，则可设法向量为露=(0，0，1)．3)当平面与坐标轴既不平行也不垂直时：则可设法向量为露=(戈，Y，1)．设a，b为Ot内任意两个不共线向量，则由a·刀=0，且b·刀=0可得r1．上述对平面法向量的设法，不但避免解不定方程或方程组还大大简化了运算过

5、程．2平面法向量的应用1)若A百·露=O(AB垡平面a)，则4B∥平面a(其中以为a的法向量)．2)若A百／／刀，则A8上平面a(其中以为a的法向量)．3)点JP到平面a的距离：d=掣(其中刀为a的法向量，M为a内任一点)．4)求异面直线AB与CD的距离d，d=等，其中辟是A8与cD的公垂线所在直线的向量．5)求直线z与平面Ot所成的角0，lsinpI=^黼，(其中n为理的法向量，膨为z与晓的交点，P为f上不同于M的任一点)．6)求异面直线AB与CD所成的角9，COSp=A8·CD—丽1下订’7)求二面角p，lCOSpl=分别为两个平面的法向量)．厅

6、l。厅2it／lJ．I厅2(刀I，聘221万方数据下面以2010年高考试题来举例说明：例1(全国Ⅱ19)如图1，直三棱柱ABC—AIB。C。中，AC=BC，AAl=AB，D为BBl的中点，E为ABl上的一点，AE=3EBI．(I)证明：DE是异面直线AB。与CD的公垂线．(Ⅱ)设异面直线AB，与CD的夹角为45。，求二面角Al—AC。一B，的图l大小．解(I)取AB、A。B。的中点分别为0、0。，以0为坐标原点射线OA、00，、OC分别为戈轴、Y轴、彳轴，建立如图1所示的空间直角坐标系0一Xyz．设CA=CB=口，AAl=AB=6，则A(了b，0，0

7、)，Bi(一虿b，6'0)，c(o，o，E(一ib，石3b，o)．故有：赢=M一告，导，o)，(÷'．，bo)，A—BI=(一¨∽，C—D=(一号，寺，户习因为赢·A—BI=了b×(一6)+詈×6+o×o=o，D—E·C—D=石b×(一号)+了b×告+o×=o，所以D—E上耐，赢上C—D，即DE是异面直线AB。与CD的公垂线．(Ⅱ)因为异面直线AB．与cD的夹角为45。，所跏洲o-器譬+譬+o虿+虿+o厨孵，口2=≯32即口=,弘IX，设平面A。AC。的一个法向量为n。=(菇，0，1)，取b=2，则Acl=(一1，2，拉)，因为豫l上Ac』，所以捍1

8、·ACI=0，一1×髫+1×以=0即戈=√芝，以l=(以，0，1)，设平面A8。c，的一个法向量为n：=(石