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1、平面法向量的应用技巧山东省聊城市第一中学赵广菊1.1平面法向量的定义：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作．如果，那么向量叫做平面的法向量（人教版．高级中学数学课本第二册（下Ｂ）第42页）．1.2课本中,只是对平面的法向量给出了定义,并未用例题说明其使用,这就给教学提出了挑战,部分教师和学生对此感到困惑。本文给出平面法向量的部分应用技巧，认识粗浅,希望对教学有所裨益．2.1空间直角坐标系下,平面法向量的坐标的计算例1在长方体ABCD-A１B１C１D１中,AB=1,AD=2,AA１=4,M、N分别是棱CC１和棱A１D１的中点,求平面B
2、MN的法向量的坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则B（2，1，0），M（0，1，2），N（1，0，4），设是平面BMN的法向量，又，由且得，且，即说明：（1）（2）若的大小，对解题结果没有影响时，可对z（或x,y）赋于具体数值，能使运算更简便，比如本题中，设z=1,得3.1利用平面法向量解直线与平面、平面与平面的平行和垂直的位置关系问题利用平面的法向量和平面的垂直关系，可将线面、面面的平行与垂直转化成线线的平行与垂直，然后，再借助于向量工具，通过向量的代数运算来解决．这时平面法向量的模的大小，对解题的结果没有影响．例2 如图，正方形ABCD的边长为1
3、，SD平面ABCD，且SD=3，点M在SB上，BS＝3BM，N、P分别是SC和SA的中点，AC、BD相交于点O，求证：(1)DN//平面ACM； (2)平面DNP//平面ACM；(3)OQ平面ACM．证明：（1）设为平面ACM的法向量，则题设知,由令得，又即又DN平面ACM，DN//平面ACM（2）由题设，得=，又由（1）知平面ACM的一个法向量为，设平面DPN的法同量为由令得即平面DPN//平面ACM（3）由已知条件，知，，0），即OQ平面ACM说明：(1)本题还可改编为（i）在SC上找一点N，使得DN//平面ACM；（ii）在SA上求一点P，使得平面DNP//平
4、面ACM；（iii）若平面DNP//平面ACM，求平面DNP截四棱锥S—ABCD所得截面的面积等．(2)证明两个平面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．3.2利用平面的法向量解平面外一点到平面的距离,平面的斜线和平面所成的角及二面角问题利用平面的法向量求点面距和线面角问题，就是借助于平面的一条斜线段、斜线段在平面内的射影所围成的直角三角形，通过解三角形来解决的；而二面角的计算，则是将二面角的平面角的大小转化为两平面法向量的夹角来计算的．平面法向量的模的大小对解题的结果没有影响．例3（2003年全国新课程卷）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角
5、三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离；（3）求二面角A—DE—B的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）由题设条件，可建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz，设AC=a，则B(0,a,0),A1(a,0,2),C1(0,0,2)，D（0，0，1），E，于是ABD的重心G的坐标为，由EG平面ABD得且，由易知AB，由得，即为平面ABD的一个法向量．又设A1B与平面ADB所成的角为，则（2
6、）设为平面ADE的法向量，易得，又则点A1到平面ADE的距离为（3）由（2）知平面ADE的法向量为，设为平面BDE的法向量，易求得设为二面角A—DE—B的大小，易于观察说明：(1)在空间直角坐标系下，利用平面法向量的方法，能使线面角、点到面的距离及二面角的计算等较复杂问题，变得异常简捷，是一种很好的方法．(2)利用本方法求二面角时，需结合图形，判定所求二面角的大小与两平面的法向量所夹的角是相等还是互补关系．练习：如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。（1）求证：截面A1ECF平面A1DC；（2）求A1B1与截面A1E
7、CF所成的角的正切值；（3）求点B到截面AECF的距离；（4）求二面角A—A1F—C的余弦值．参考答案：（2）（3）（4）
