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1、平面的法向量武山三中王建华近年来,在新教材改革中,空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、符号化、数量化，将复杂的推理转化为代数运算，从而降低了思维难度。本文结合高考复习中的体会，例谈平面的法向量及其应用。一.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.nab在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n
2、⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标.第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得
3、，取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)zAAOA1D1B1C1ADyxBC二.平面法向量的应用1、判断直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则L∥α.naLnaαL例2棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D、E分别是AC、CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1zA1C1B1EADCxBy解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2
4、),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC12、平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2n1αn1n2n2βαβ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β例3正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,z设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1
5、(0,0,2),A1D1F(1,2,0),D(0,2,0),于是B1C1E设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得AFDy解之得取z=2得n1=(-1,0,2)xBC同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD3、求直线与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角或-(下图).naaθ θ n α α于是,因此.例4正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求A
6、C1与侧面ABB1A1所成的角A11B11解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)zC1OA1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)C由得xABy，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴4、求二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.例5在四棱锥S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱S
7、A⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BC解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则zB（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.S设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由,得ADyn1=(1,1,2).x而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足∴二面角A-SD-C的大小为.5、求点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.
