向量应用中的回路法与坐标法

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1、8-20数擎教学2014年第8期向量应用中的回路法与坐标法201203华东师范大学第二附属中学任念兵向量集数与形于一身，沟通了代数、、几何个案例，其中的一些观点值得探讨．本文仍从与三角，既有代数的抽象性，又有几何的直观此案例入手，谈谈笔者对向量方法的理解，兼性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象与陈、顾两位老师商榷．思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的1．一个解题案例的回顾-一个有效的强有力工具．例1如图1，在AABC~，已知膏上BC，上海高中数学教材[1】介绍了平面向量的两BH_LAC，求证

2、：CH_LABA类运算：线性运算(包括加、减、数乘)和数量积运算，前者通过平面向量分解定理解决了向量表示的问题，即：平面内所有向量都可以表示为基向量的线性组合；后者则提供了长度、角度等基本几何量的计算公式．因此就从定性C和定量两个方面为几何研究做好了准备．图1然而，如何灵活运用向量方法研究几何问文提供了四种证法，笔者理解为两个题却是实际教学中的难点．文f21就探讨了_思路．／～～～～～～～～～～～～～～～～～～，、，～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～又因点G是点集

3、的重心，所以有【3】其余四顶点的重心的连线，则作得的诸直线(共oaj=(、i∑D—OAj)．一一⋯一(2)五条)必相交于同一点，这个点正是这五边形的=1—欧拉’圆心．比较(1)式和(2)式，可得QJQ=(n一命题3在圆内接五边形中，过外心与任1)oGj，由此可知QjQ／／O=1，2，⋯，佗)．一顶点连线的第一个五等分点作直线，使它平命题得证．行于外心与其余四顶点的重心的连线，则作得这个定理就是本文得到的主要结论．容易验证，在定理2中令n=3，k=l，就能得到定的诸直线(共五条)必相交于同一点，这个点

4、正理1．因此，定理2是定理1的推广，不妨称它是这五边形的重心．为圆内接闭折线的k号心定理．这些关于圆内接五边形的命题是耐人寻值得指出的是，定理2的内涵极其丰富，考味的，在以往的几何著作中似未见过．诸如此察它的各种特例，将会得到许多花样翻新的有类的命题不胜枚举，这里就不赘述了．趣命题．例如，在定理2中令n-5=1、2、5，参考文献可得‘【1]熊曾润．圆内接闭折线的垂心及其性命题1在圆内接五边形中，过任一顶点质．中学数学，2000(3)：43-44．作直线，使它平行于外心与其余四顶点的重心的连线，则这样

5、作得的诸直线f共五条)必相交[2】熊曾润．圆内接闭折线的欧拉圆及其于同一点，这个点正是这五边形的垂心．性质[J]．中学教研(数学)，1999(11)：32-33．命题2在圆内接五边形中，过外心与任[3]熊曾润．闭折线的顶点系重心的性一顶点连线的中点作直线，使它平行于外心与质【J]．中学教研(数学)，1998(i-2)：45-46．2014年第8期数学教学8—2l思路1：确定基向量，寻找向量“回路”，这同样，“在利用向量方法研究平面几何问是利用了向量的几何属性．文f21的证法1、证题”的教学中，核心应

6、该还是坐标．利用坐标法法3、证法4大同小异，笔者将这几个证法整理计算相当简便，思路也较为程序化，学生易于为下面的证法5，更为精炼而简洁．理解和掌握．利用坐标的向量方法，关键在于建立合适的坐标系，适当的坐标系将大大简化证法5：{竺’生===(一)‘_0，一)。。，计算量．通常利用图形的对称性建系，以图形两式相减得百．C一．=．A雪=0，端点为坐标原点、以图形的边为坐标轴：如果故日上B．有两条相互垂直的直线，则以直角顶点作为坐思路2：建立平面直角坐标系，通过坐标标原点⋯⋯，这些都是建系的常见方法，合理实

7、现代数运算，这是利用了向量的代数属性．建系的技巧较于选择向量回路，是易于掌握的，文[2】的证法2繁琐的原因其实并不在于坐标这也是坐标法在教学效果上会优于向量回路法形式本身，而是没有合理建系，下面的证法6极的原因．其简练优美，体现了向量的坐标形式的优越性．3．两道高考难题的剖析证法6：分别以、A所在直线为X、笔者今年正好教高三，为了比较“向量回Y轴，记B(b，0，c(c，0)，A(O，0)，H(O，)，贝U路法”和“坐标法”这两种向量方法的教学效果，由赢．：-b，h)·(C，-a)=-bc—ah=0，

8、在复习平面向量时特意选择了2013年高考中得商．：一c，h)·(b，-a)=-ba-ah=0，的两道难题，引导学生从向量回路和坐标两个所以----百-上--·-百_÷即证．方向进行思考，深入理解向量的几何属性和代2．两种向量方法的比较数属性．确定基向量、寻找合适的向量“回路”f即例2f2013年高考浙江卷理科第7题)设通过向量的线性运算，用两个或多个向量表示△B，点P0是边B上一定点，满足P0B=某个或某组向量)的方法，常常可以利用条件{4AB，且对于边A日上任一点P