向量法及其应用

《向量法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、向量法及其应用摘要引言文献综述1向量法在几何中的应用1．1用向量证明初等几何的解析法解析法证明初等几何问题一般步骤:1)恰当地选择坐标系,使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式。2)根据题目要求,求出有关点的坐标、直线或圆的方程。3)从已知条件出发,以求证的结论为目标,通过运算、推理,出要证的结果。在运用解析法证明初等几何问题时,必须熟练掌握并善于使用在直角坐标系下的有关公式,定理和方程。如两点间的距离公式、定比分点公式,直线的斜率公式,两直线夹角公式,两直线平行、垂直的充要条件,直线和圆的各种类型的方程,圆的切线方程等。以下分类型

2、加以阐述:1.等线段的问题证明线段的相等或不等,线段的和差倍分及定值问题,常用的方法是选定坐标后,再利用两点距离公式,点到直线的距离等知识来进行运算。例1.如图1,以Rt△ABC的一直角边作直径作⊙O,此圆与斜边AC交于D,过D引⊙O的切线交BC于E。求证:BE=CE分析:以B为坐标原点,BA所在直线为X轴,建立直角坐标系,设A(2a,0),B(0,0),C(0,b),E(0,y0),则⊙O和直线AC的方程可求,由AC交⊙O可求得出D点的坐标,再由BE=ED,可求得E为BC的中点。例2.如图2,G为△ABC的重心,从各顶点及G向△ABC外一直

3、线L引垂线AA′,BB′,GG′,垂足分别为A′、B′、C′及G′,则AB′+BB′+CC′=3GG′。分析:以直线L为X轴,B′为坐标原点,建立直角坐标系,由于△ABC各顶点坐标为已知,故可求出重心G的坐标,把A、B、C、G点纵坐标加以比较即可得证。2,等角的问题利用直线斜率公式,两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式,可证明一些与角的度量有关的题目。处理的方法一般较简单,只需在选定坐标系以后,求出有关点的坐标或方程,进行一些斜率和角度的计算即可。例3.如图3,锐角△ABC的三条高线AD,BE,CF,H为垂心,求证:AD平分∠EDF简证:以D

4、为坐标原点,BC边所在直线为X轴,设A(0,a),B(-b,0)C(c,0),D(0,0),则AC,BE,ABCF的方程分别为:cy+ax-ac=0,ay-cx+bc=0,by+ax-ab=0,ay-bx+bc=0于是过AC,BE交点和过AB,CF交点的直线系方程分别为:所以有即tg∠BDF=tg∠EDC,又∠BDF,∠EDC均大于0小于180故∠BDF=∠EDC,从而∠FDH=∠HDE,即HD平分∠EDF。例4.如图4,在△ABC中,AD⊥BD于D,且CD=AB+BD,求证∠ABC=2∠ACB∠ABC=2∠ACB简证:以BC,DA所在直线为

5、坐标,建立直角角坐标系,设A(0,a)B(-b,0),D(0,0),则AB=,由CD=AB+BD得出C点坐标(b+,0)所以tg∠ABC=kAB=，又∠ABC及∠ACB均为锐角,2∠ACB3.三点共线与三线共点的问题1)证三点共线,常用的方法有:ⅰ)先建立过两点的直线方程,再验证第三点也适合这个方程;ⅱ)若能证得kAB=kBC,则A,B,C三点共线;ⅲ)点Ai(Xi,Yi)(i=1,2,3)共线的充要条件为2)证明三线共点,常用的方法有:ⅰ)利用定比分点公式,分别求出三条线上某分点坐标,若求得相同,因直角坐标平面上的点和坐标一一对应,故三线共

6、点;ⅱ)三条互不平行直线L1:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3)若:则Li(i=1,2,3)相交于一点。例5.求证△ABC的外心O,垂心H和重心G在一直线上。证明:如图5,作AD⊥BC于D,以D为坐标原点,BC所在直线为X轴,设A(0,a),B(b,0),C(c,0),由重心坐标公式得GBC边上的中垂线方程为，,AC边上的中垂线方程为