2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：38基本不等式.docx

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1、基本不等式建议用时：45分钟一、选择题1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是()．若babaA＋≥2·＝2a，b∈R，则ababB．若x＞1，y＞1，则lgx＋lgy≥2lgx·lgy．若＜，则4≥24Cxx＋xx·＝－40x．若＜，则x＋2－xx·－xD2＞22＝2x02BD[A错误，∵a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，∵lgx和lgy4一定是正实数，故可用基本不等式；C错误，∵x和x不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞22x·2－x＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0

2、时)，等号成立，故选BD.]2．设0＜x＜2，则函数y＝x4－2x的最大值为()A．2B．22C.3D.2D[∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝1×2x(4－2x)≤1×2x＋4－2x2＝1×4＝2.2222当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝x4－2x的最大值为2.]113．若正数m，n满足2m＋n＝1，则m＋n的最小值为()A．3＋22B．3＋2C．2＋22D．3A[因为2m＋n＝1，1111n2mn2mn所以m＋n＝m＋n·(2m＋n)＝3＋m＋n≥3＋2m·n＝3＋22，当且仅当m＝2mn，11即n＝2m时

3、等号成立，所以m＋n的最小值为3＋22，故选A.]4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8B[法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤a＋b2，因此a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时4取等号，故选B.1111ab法二：(常数代换法)由题意，得a＋b＝1，所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现

4、证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.a＋b≥ab(a>0，b>0)2B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)2abC.a＋b≤ab(a>0，b>0)a＋ba2＋b2D.2≤2(a>0，b>0)D[由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝a＋ba＋b2，又OC＝OB－BC＝2－b＝a－b2，则FC2＝OC2＋OF2＝a－b2a＋b2a2＋b24＋4＝2，a＋ba2＋b2再根据题图知FO≤FC，即2≤2，当且仅当a＝b时取等号．故选D.]二

5、、填空题．若对任意＞，x≤a恒成立，则a的取值范围是________．6x0x2＋3x＋11[∵对任意x＞0，x≤a恒成立，5，＋∞2x＋3x＋1x∴对x∈(0，＋∞)，a≥x2＋3x＋1max，而对x∈(0，＋∞)，x＝1≤1＝1，x2＋3x＋11215x＋＋3x·＋3xx1当且仅当x＝x时等号成立，1∴a≥5.]7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，当

6、AQ

7、＋

8、CP

9、最小时，则a的值为________．3[由题意得：P点坐标为a，Q点坐标为a，1，

10、AQ

11、＋

12、CP

13、＝a3，

14、aa3＋1≥21，a3当且仅当a＝3时，取最小值．]．·天津高考设x＞，＞，＋＝，则x＋12y＋1的最小值为________．8(2019)0y0x2y4xy9[x＋12y＋12xy＋2y＋x＋12xy＋552xy＝xy＝xy＝2＋xy.因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4，所以x＋2y＝4≥2x·2y，即2xy≤2,0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立．519所以2＋xy≥2＋5×2＝2，x＋12y＋19所以xy的最小值为2.]三、解答题9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．82[解]

15、(1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x>0，y>0，82828≥，则1＝x＋y≥2·＝，得xyxyxy64当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．故xy的最小值为64.8y，(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝y－2因为x＞0，y＞0，所以y＞2，8y16则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，y－2y－216当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．y－2故x＋y的最小值为18.82法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，82则x＋y＝x＋y·(x＋y)2x8y＝10＋y＋x2x8y≥

16、10＋2·＝18，yx当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，故x＋y的最小值为18.10．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该