2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：76不等式的证明.docx

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1、不等式的证明建议用时：45分钟1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；212(2)求证：a＋b≥1＋2.1[证明](1)根据重要不等式得：a2＋b2≥2(a＋b)2＝2.21a＋b213ba32＋22b(2)a＋b＝2×a＋b＝2＋a＋2b≥2＋2＝4，等号成立的条件为：a＝a2122b，故a＋b≥1＋2.2．已知a，b为正实数．a2b2(1)求证：b＋a≥a＋b.1－x2x2(2)利用(1)的结论求函数y＝x＋1－x(0

2、a－b2a＋b＝ab＝ab.又因为a>0，b>0，所以a－b2a＋bab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．22所以a＋b≥a＋b.ba(2)因为00，由(1)的结论，y＝1－x22x＋x≥(1－x)＋x＝1.1－x1当且仅当1－x＝x即x＝2时等号成立．1－x22(00，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；1113(2)3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≥2.[证明](1)因为由柯西不等式得(a＋b＋c)2＝·＋1·＋·c)2≤(1ab1(12＋12＋12)·[(a)2＋(b)

3、2＋(c)2]＝3，当且仅当1＝111a＝，即a＝b＝c＝时，等bc3号成立，所以a＋b＋c≤3.111(2)因为由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋＋＋≥1)＋(3c＋1)]·3a＋13b＋13c＋1111213a＋1·3b＋1·＋＋·3a＋13c13c＋1＝9(当且仅当a＝b＝c＝3时，3b＋1等号成立)，111又＋＋＝，所以＋＋≥9，abc163a＋13b＋13c＋11＋1＋13所以≥.3a＋13b＋13c＋124．已知函数f(x)＝

4、2x－3

5、＋

6、2x－1

7、的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2

8、m＋n

9、≤

10、4＋mn

11、；21(2)若a，b∈(

12、0，＋∞)，a＋2b＝M，求a＋b的最小值．[解](1)证明：∵f(x)＝

13、2x－3

14、＋

15、2x－1

16、≥

17、2x－3－(2x－1)

18、＝2，∴M＝2.＋≤＋，只需证明2≤(4＋mn)2，要证明2

19、mn

20、

21、4mn

22、4(m＋n)∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，∵m，n∈[－2,2]，∴m2，n2∈[0,4]，∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2

23、m＋n

24、≤

25、4＋mn

26、.(2)由(1)得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞

27、)，2112＋1(a＋2b)所以＋＝2abab12＋2＋a4b1a4b＝2＋≥＋·＝，ba242ba41当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立．21所以a＋b的最小值为4.