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时间:2020-03-09
《高考数学一轮复习课后限时集训69不等式的证明文北师大版.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训69不等式的证明建议用时:45分钟1.(1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明++≥9;(2)已知a,b,c均为正实数,且abc=1,证明++≤++.[证明](1)因为a+b+c=1,所以++=++=++1+++1+++1=++++++3≥9,当a=b=c时等号成立.(2)因为++=≥×.又因为abc=1,所以=c,=b,=a,∴++≥++.当a=b=c时等号成立,即原不等式成立.2.已知函数f(x)=
2、x+m
3、(m≥1).(1)当m=2时,求不等式>-1的解集;(2)设g(x)=f,记p(x)=f(x)+g(x),
4、证明:p(x)≥3.[解](1)∵m=2,∴f(x)=
5、x+2
6、,∴不等式>-1,即为>-1,即>0,上述不等式同解于,即x>0,①或即-2<x<-,②或即x≤-2,③由①②③得不等式的解集为.(2)证明:∵g(x)=f=,∴p(x)=
7、x+m
8、+,∵
9、x+m
10、+≥,∴p(x)≥,∵m≥1,∴p(x)≥2m+,∵h(m)=2m+在区间[1,+∞)上是增函数,∴h(m)≥3,∴p(x)≥3.3.已知函数f(x)=
11、x+1
12、.(1)求不等式f(x)<
13、2x+1
14、-1的解集M;(2)设a,b∈M,求证:f(ab)>f(a)-f(-b).[解](1)
15、由题意,
16、x+1
17、<
18、2x+1
19、-1,①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.综上,M={x
20、x<-1或x>1}.(2)证明:因为f(a)-f(-b)=
21、a+1
22、-
23、-b+1
24、≤
25、a+1-(-b+1)
26、=
27、a+b
28、,所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证
29、ab+1
30、>
31、a+b
32、,即证
33、ab+1
34、2>
35、a+b
36、2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,
37、即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.4.(2019·全国卷Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,证明:a≤-3或a≥-1.[解](1)因为[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)
38、2],所以由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.(2)证明:因为[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)·(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],所以由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.所以(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.由题设知≥,解得a≤
39、-3或a≥-1.
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