高考数学一轮复习课后限时集训76不等式的证明理北师大版.docx

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1、课后限时集训76不等式的证明建议用时：45分钟1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；(2)求证：≥1＋.[证明]　(1)根据重要不等式得：a2＋b2≥(a＋b)2＝2.(2)＋＝×＝＋＋≥＋＝，等号成立的条件为：＝，故≥1＋.2．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b.(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(00，b>0，所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立．所以＋≥a＋b.(2)因为00，由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x

2、＝x即x＝时等号成立．所以函数y＝＋(00，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.[证明]　(1)因为由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，所以＋＋≤.(2)因为由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]·≥2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)，又a＋b＋c＝1，所以6≥9，所以＋＋≥.4．已知函数f(x)＝

3、2x－3

4、＋

5、2x－1

6、的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2

7、

8、m＋n

9、≤

10、4＋mn

11、；(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．[解]　(1)证明：∵f(x)＝

12、2x－3

13、＋

14、2x－1

15、≥

16、2x－3－(2x－1)

17、＝2，∴M＝2.要证明2

18、m＋n

19、≤

20、4＋mn

21、，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，∵m，n∈[－2,2]，∴m2，n2∈[0,4]，∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2

22、m＋n

23、≤

24、4＋mn

25、.(2)由(1)

26、得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋＝(a＋2b)＝≥＝4，当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为4.