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时间:2021-03-04
《2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训77不等式的证明理含解析新人教版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(七十七) 不等式的证明建议用时:25分钟1.已知a>0,b>0,c>0.(1)求证:a4-a2b2+b4≥;(2)若abc=1,求证:a3+b3+c3≥ab+bc+ac.[证明] (1)要证a4-a2b2+b4≥,即证(a2+b2)(a4-a2b2+b4)≥ab(a4+b4),即证a6+b6≥a5b+ab5,即证a6+b6-a5b-ab5≥0,即证a5(a-b)-(a-b)b5≥0,即证(a5-b5)(a-b)≥0,该式显然成立,当且仅当a=b时等号成立,故a4-a2b2+b4≥.(2)由算术-几何平均不等式得a3+b3+c3≥3abc,a3+b3+1
2、≥3ab,b3+c3+1≥3bc,a3+c3+1≥3ac,将上面四式相加,可得3a3+3b3+3c3+3≥3abc+3ab+3bc+3ac,当且仅当a=b=c=1时等号成立.即a3+b3+c3≥ab+bc+ac.2.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b;(2)利用(1)的结论求函数y=+(00,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥a+b.(2)因为00,由(1)的结论,y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x即x=时等号成立.所以函数y=+(
3、04、x-15、(m>0),且f(x+1)≥0的解集为[-3,3].(1)求m的值;(2)若正实数a,b,c满足++=m,求证:a+2b+3c≥3.[解] (1)因为f(x+1)=m-6、x7、,所以f(x+1)≥0等价于8、x9、≤m,由10、x11、≤m,得解集为[-m,m](m>0),又由f(x+1)≥0的解集为[-3,3],故m=3.(2)证明:由(1)知++=3,又∵a,b,c是正实数,∴a+2b+3c=(a+2b+3c)≥=3.当且仅当a=1,b=,c=时等号成立,所以a+2b+3c≥3.2.已知函数f(x)=12、2x-313、+14、15、2x-116、的最小值为M.(1)若m,n∈[-M,M],求证:217、m+n18、≤19、4+mn20、;(2)若a,b∈(0,+∞),a+2b=M,求+的最小值.[解] (1)证明:∵f(x)=21、2x-322、+23、2x-124、≥25、2x-3-(2x-1)26、=2,∴M=2.要证明227、m+n28、≤29、4+mn30、,只需证明4(m+n)2≤(4+mn)2,∵4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2),∵m,n∈[-2,2],∴m2,n2∈[0,4],∴(m2-4)(4-n2)≤0,∴4(m+n)2-(4+mn)2≤0,∴4(m+n)31、2≤(4+mn)2,可得232、m+n33、≤34、4+mn35、.(2)由(1)得,a+2b=2,因为a,b∈(0,+∞),所以+=(a+2b)=≥=4,当且仅当a=1,b=时,等号成立.所以+的最小值为4.
4、x-1
5、(m>0),且f(x+1)≥0的解集为[-3,3].(1)求m的值;(2)若正实数a,b,c满足++=m,求证:a+2b+3c≥3.[解] (1)因为f(x+1)=m-
6、x
7、,所以f(x+1)≥0等价于
8、x
9、≤m,由
10、x
11、≤m,得解集为[-m,m](m>0),又由f(x+1)≥0的解集为[-3,3],故m=3.(2)证明:由(1)知++=3,又∵a,b,c是正实数,∴a+2b+3c=(a+2b+3c)≥=3.当且仅当a=1,b=,c=时等号成立,所以a+2b+3c≥3.2.已知函数f(x)=
12、2x-3
13、+
14、
15、2x-1
16、的最小值为M.(1)若m,n∈[-M,M],求证:2
17、m+n
18、≤
19、4+mn
20、;(2)若a,b∈(0,+∞),a+2b=M,求+的最小值.[解] (1)证明:∵f(x)=
21、2x-3
22、+
23、2x-1
24、≥
25、2x-3-(2x-1)
26、=2,∴M=2.要证明2
27、m+n
28、≤
29、4+mn
30、,只需证明4(m+n)2≤(4+mn)2,∵4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2),∵m,n∈[-2,2],∴m2,n2∈[0,4],∴(m2-4)(4-n2)≤0,∴4(m+n)2-(4+mn)2≤0,∴4(m+n)
31、2≤(4+mn)2,可得2
32、m+n
33、≤
34、4+mn
35、.(2)由(1)得,a+2b=2,因为a,b∈(0,+∞),所以+=(a+2b)=≥=4,当且仅当a=1,b=时,等号成立.所以+的最小值为4.
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