§5.3平面向量的数量积.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途§5。3　平面向量的数量积2014高考会这样考　1.考查两个向量的数量积的求法；2。利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3。利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做　1。理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法;2。理解数量积的运算性质；3。利用数量积解决向量的几何问题．1．两个向量的夹角(1）定义:已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b>．（2）范围：向量夹角〈a，b〉的范围是［0,π]，且〈a,b>＝．（3）向量垂直：如

2、果

3、a

4、cosθ.3．向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：

5、a

6、

7、b

8、cos叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b＝

9、a｜

10、b｜cos〈a，b〉．

11、（2）向量数量积的性质:①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝｜a｜cos〈a，e>；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝｜a

12、2，

13、a｜＝；④cos〈a，b〉＝(

14、a｜｜b

15、≠0）；个人收集整理勿做商业用途⑤

16、a·b｜__≤__｜a｜｜b｜.（3)数量积的运算律：①交换律:a·b＝b·a.②分配律:(a＋b）·c＝a·c＋b·c。③对λ∈R，λ（a·b）＝（λa）·b＝a·(λb)．(4）数量积的坐标运算设a＝(a1，a2),b＝（b1,b2），则①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0;③｜a

17、＝；④co

18、s〈a，b〉＝。［难点正本　疑点清源］1．对两向量夹角的理解(1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同，应通过移动，使其起点相同,再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时,其夹角为0，当共线且反向时，其夹角为π。2．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关,在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．3．数量积与实数积的区别（1)若a、b为实数，且a·b＝0,则有a＝0或b＝0,但a

19、·b＝0却不能得出a＝0或b＝0。（2）若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.（3）若a、b、c∈R，则a(bc)＝（ab）c（结合律）成立,但对于向量a、b、c，而（a·b）·c与a·（b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4）若a、b∈R，则

20、a·b｜＝｜a

21、·｜b｜，但对于向量a、b，却有

22、a·b

23、≤｜a

24、

25、b｜，等号当且仅当a∥b时成立．1．已知向量a和向量b的夹角为135°，｜a｜＝2,｜b｜＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝_____

26、___。答案　－3解析　a·b＝

27、a｜

28、b｜cos135°＝2×3×＝－3.个人收集整理勿做商业用途2．(2012·聊城模拟）已知a⊥b，

29、a

30、＝2，

31、b

32、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．答案　解析　由a⊥b知a·b＝0.又3a＋2b与λa－b垂直，∴（3a＋2b）·(λa－b）＝3λa2－2b2＝3λ×22－2×32＝0。∴λ＝.3．已知a＝(2,3），b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．答案　解析　设a和b的夹角为θ，

33、a

34、cosθ＝

35、a｜＝＝＝。4．(2011·辽宁）已

36、知向量a＝(2，1），b＝（－1，k)，a·(2a－b)＝0,则k等于(　　）A．－12B．－6C．6D．12答案　D解析　由已知得a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k）＝0，∴k＝12。5．（2012·陕西）设向量a＝（1，cosθ）与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于（　　)A.B.C．0D．－1答案　C解析　a＝(1，cosθ），b＝(－1，2cosθ）．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0。题型一　平面向量的数量积的运算

37、例1　（1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　）A．－16B．－8C．8D．16（2)若向量a＝(1，1），b＝(2，5)，c＝(3，x),满足条件（8a－b）·c＝30，则x等于（　　）A．6B．5C．4D．3思维启迪：（1）由于∠C＝90°，因此选向