5.3平面向量的数量积

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1、系列一2019一轮•数学5．3　平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，

2、a

3、cosθ(

4、b

5、cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于___________________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律

6、①交换律：___________________；②数乘结合律：__________________________；③分配律：_____________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④

7、－

8、________＋.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角

9、，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________．③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或＝____________.④cosθ＝____________.⑤≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；＝________________.②a

10、⊥b____________________．③≤________________________.自查自纠：1.cosθ　a·b　

11、a

12、

13、b

14、cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④≤3．①

15、a

16、cosθ　②a·b＝0　③

17、a

18、

19、b

20、　－

21、a

22、

23、b

24、

25、a

26、2　　④　⑤

27、a

28、

29、b

30、4．①x1x2＋y1y2　x＋y　

31、②x1x2＋y1y2＝0　③好教育云平台http://www.jtyhjy.com11系列一2019一轮•数学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　()已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)A．－8B．－6C．6D．8解：向量a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b得4×3＋(m－2)×(－2)＝0，解得m＝8.故选D.()已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°解：cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.()

32、设a，b是非零向量，“a·b＝

33、a

34、

35、b

36、”是“a∥b”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：a·b＝

37、a

38、

39、b

40、cos〈a，b〉．若a·b＝

41、a

42、

43、b

44、，则cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝

45、a

46、

47、b

48、或a·b＝－

49、a

50、

51、b

52、.故“a·b＝

53、a

54、

55、b

56、”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.()已知向量a，b的夹角为60°，

57、a

58、＝2，

59、b

60、＝1，则

61、a＋2b

62、＝________

63、.解：

64、a＋2b

65、＝＝2.故填2.已知＝(2，1)，点C(－1，0)，D(4，5)，则向量在方向上的投影为________．解：因为点C(－1，0)，D(4，5)，所以＝(5，5)，又＝(2，1)，所以向量在方向上的投影为

66、

67、cos〈，〉＝＝＝.故填.类型一　数量积的定义及几何意义　(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a·b＝±·⇔a∥b；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·c＝b·c⇔a＝b；④(a·b)·c＝a·(b·c)．解：a·b＝cosθ，

68、θ为a，b的夹角，则cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②.(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且

69、

70、＝

71、

72、，则向量在向量方向上的投影为好教育云平台http://www.jtyhjy.com11系列一2019一轮•数学(　　)A.B.C．3D．－解：由已知可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处