向量解法在立体几何问题中的运用.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途立体几何问题的向量解法一、空间直角坐标系相关知识1．空间直角坐标系设，,是共起点的三个两两垂直的单位向量，分别以，，的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点叫做原点，轴叫做横轴，轴叫做纵轴,轴叫做竖轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面,平面．对于空间任一点，对应一个向量，存在唯一的有序实数组、、，使．把实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作,其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．2．向量的坐标运算(1）设，，则；；（）；;（）；．(2）设点，，则,即一个

2、向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．（3)设点，，点为线段的中点，则点的坐标为．3．平面的法向量及法向量的求法(1）平面法向量的定义如果向量与平面垂直，则向量叫做平面的法向量．向量垂直于平面，记作．（2）平面法向量的求法法1：如图,设是平面的一个法向量，,是平面内不共线的两个向量，则由个人收集整理勿做商业用途①，在方程组①中可取（也可取，或)，即可把和解出，从而求得平面的一个法向量．二、空间向量在立体几何中运用1、平行与垂直【结论1】设A、B是直线m上的点，C、D是直线n上的点，则有：①m∥n∥（AB、CD不重合）；②m⊥n•=0.

3、利用这一结论还可以进一步解决直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行以及平面与平面垂直等问题。【结论2】设是平面的一个法向量,直线a平面,若⊥,则a∥平面.【结论3】设是平面的一个法向量,若∥,则a⊥平面。2、有关的角【结论4】设A∈a,B∈a，C∈b，D∈b,且直线a与b是异面直线，则〈,〉就是异面直线a与b所成的角或它的补角.设，，为异面直线所成角，则：；；。【结论5】nOPAαθ如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量,过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得。【结论6】设α、β是二面角α—L—β的两个面，、分别是α、β的法向量，如果当与的起点

4、都在二面角的面内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是π-〈,>;如果与的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是〈，>.个人收集整理勿做商业用途3、有关的距离PQA【结论7】点P是直线L外一点,A是直线L上一点，是直线L在点P与直线L所确定的平面内的一个法向量，则点P到直线L的距离d=.ABDCEab【结论8】设a、b是异面直线，向量满足⊥a,⊥b,点C、D分别是直线a、b上任意一点，则异面直线a、b的距离d=。【结论9】设点P在平面α外,点A是平面α内任意一点，是平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离d=

5、

6、PQ｜=.三、例题：例1。如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4，AA1＝4，AB＝5点D是AB的中点,(I）求证：AC⊥BC1;（II）求证：AC1//平面CDB1；（III)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值例2.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC,AB⊥AC，PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明:CM⊥SN;（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小。证明：设PA=1，以A为原点，射线AB,AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。个人收集整理勿做商业用途则P（0,0，1），C（0

7、,1,0），B（2,0，0），M（1,0，），N(,0,0），S（1，,0）（Ⅰ）,因为，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ），设a=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则因为所以SN与片面CMN所成角为45°。例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,，，为的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;（Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。解:作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取，解得个人收集整理勿做商业用途(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为，则为在

8、向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为ABCDEFP例4。如图，四棱锥中,底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD,E，F分别CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF平面PAB；(Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.ABCDEFxyzP解：（Ⅰ)证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（)，则E（a，0,0），C（2a，0，0)，A（0,1，0),B(2a，1,0），P(0，0,1），。得，,.由，得，即，同理,又,所以，EF平面PAB。(Ⅱ）解：由,得，即。得，，