向量解法在立体几何问题中的运用

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1、立体几何问题的向量解法一、空间直角坐标系相关知识1.空间直角坐标系设几7,斤是共起点o的三个两两垂宜的单位向量，分别以几7,斤的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角处标系O-xyz,点0叫做原点，x轴叫做横轴，y轴叫做纵轴，z轴叫做竖轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xQy平而，yOz平而，zOx平而.对于空间任一点対应一个向量0力，存在唯一•的有序实数组x、p、z,使•———OA=xi+yj+zk.把实数组(x,y9z)叫做点/在此空间直角坐标系中的坐标,记作A(x9

2、y9z),其中x叫做点/的横坐标，尹叫做点A的纵处标，z叫做点A的竖处标.2.向量的坐标运算(1)设a=(a^a2,a3),/=(勺，筠,爲)，则a+b=(67]+勺+b”a?+爲)；a_b=(q—b^ci^—>6—bj；—*Xa—(兄4,加”加3)(2g7?)；a-b=aAh}+a1h2+；aliboa=Ab<^>a{=Abx,a2=Ab2,a3=Ab3(2w7?)；a±b<=>a•b=0<=>axb}+a2b2+a3b3=0.(2)设点S(X2,^2,Z2),贝

3、JMB=(兀2-X

4、』2一Pl®-Z]),即一个向量在直角坐标系中的坐

5、标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.(3)设点/(“』,可)，B(x2,y29z2)，点M为线段的屮点，则点M的坐标为m(土电，生竺,£l注).223.平面的法向量及法向量的求法(1)平面法向量的定义如果向量万与平而Q垂直，则向量万叫做平而Q的法向量.向M5®直于平而a,记作万丄(2)平面法向量的求法法1：如图，设n=(x,y,z)是平而&的一个法向量,a=(a{,a2,a3),b=(b{,b2,b3)是平面Q内不共线的两个向量，则山方丄«=>一=>「2Z3©,［方丄b恆•b=0［^x+b2y+b3z=0在方程组①中

6、nJ取x=a（也nJ取y=a,或z=a）,即町把尹和z解出，从而求得平面Q的一个法向量n=(a,y,z).二、空间向量在立体几何中运用1、平行与垂直【结论1】设A、B是直线加上的点，C、D是直线〃上的点，则冇：①〃2〃〃oAB//CD（AB、CD不重合）；②加丄noAB•CD=0.利用这一结论述可以进一步解决直线与平面平行、直线与平而垂直、平面与平而平行以及平而与平而垂直等问题。―>―>—>【结论2】设77是平血匕的一个法向呆，肓线670平血匕,若Q丄―则G〃平而—►—►—>【结论3】设斤是平面Q的一个法向量，若a//n，则a丄平面G。

7、2、有关的角【结论4］设力人且直线a与h是异面直线，贝\就是界而直线。与b所成的角或它的补角。设a=(aA,a2,a3),b=(bi9b2,b3),&w(0°,90°］为异面直线所成角,则:a-b=a-b-cos；cos=Gi•由Ia、b+a2b2+a3b3Ja：+a；+&Jbj+b；+b；cos0=1cos.【结论5】如图，lL^WPA为平面g的一条斜线，〃为平面a的一个法向量，过P作平血Q的垂线P0,连结0/则ZR40为斜线血和平而&所成的角，记为&易得7T■‘•sin6=1

8、sin(一一<0P,AP>)2=1cos1=1cos1=1cos\rrPA\PA―>—>【结论6］设a、p是二而角a^p的两个而，m.n分别是gp的法向量，如果当的起点都在二面角的面内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则这个二面角的大小就-»—>—>—>是7i--如果加与刃的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的人小就是TT.3、有关的距离AQAC【结论7］点、P是直线厶外一点，A是直线厶上一点，n是直线厶在点P少直线L所确定

9、的平面内的一•个法向量，则点P到直线厶的距离』血".InI【结论8】设a、b是界面直线，向量：满足：丄打丄b,点C、Q分别是直线a、b上—>-CD任意一点，则异面肓线a、〃的距离d=—-—.InI【结论9］设点P在平面a外，点A是平面a内任意一点，n是平面a的一个法向量,则点P到平面«的距离d=PQ='PA^-InI三、例题：例1•如图，在直三棱柱ABC-A}B}C}中，AC=3f3C=4,44

10、=4,4B=5点Q是力〃的中点，(I)求证：ACLBCi；(II)求证：ACxmCDB^(III)求界面直线MG与5C所成角的余弦

11、值解法二：•••直三棱柱ABC-A.BA底面三边长AC=3,BC=4,ACtBCtGC两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线CA,CB,CCi分别为％轴,y轴"轴，建立空间直角坐标系，RSC(o,0,0),.