空间向量在立体几何问题中的运用探讨.pdf

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1、科技展望2017/03空间向量在立体几何问题中的运用探讨赵山博(郑州市第一中学，河南郑州450000)【摘要】空间向量作为立体几何研究的主要工具之一，了解并掌握空解法二:如图1(2)，将D作为坐标原点，X轴的正半轴为射线间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题。因DA，DC作为Y轴，DD1为z轴。创建如图1(2)所示的直角坐标其所涉及到的立体几何问题范围比较广泛，致使学习者对空间向量的系，即D－xyz:实际应用方法往往掌握的不够全面，进而促使解题困难重重。因此，根据题意可知:A1(2，0，4)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，

2、1)。文章针对空间向量在立体几何问题中的运用探讨具有重要的现实意→→→→(1)DE=(0，2，1)，DB=(2，2，0)，AC=(－2，2，－4)，DA=11义与社会价值。→→→→(2，0，4)，因为AC·DE=0，AC·DB=0，所以，AC⊥BD，AC⊥【关键词】空间向量立体几何高中数学法向量1111DE，又因为DE与DB相交于点D，所以，AC⊥平面DBE。1目前所采用的数学教材———《全日制普通高级中学教科书》(2)设向量n=(x，y，z)是平面DAE的法向量，所以，n⊥D→E，1(第二册下B)，其所含有的一项独有知

3、识点就是空间向量。通过→n⊥DA，2x+4z=0，2y+z=0。令y=1，则x=4，z=－2，n=(1，1，1近几年的教学实践发现，引用空间向量法对立体几何问题进行处－2)。理，往往能够做到化难为易、化繁为简，进而有效提升学生解决立→体几何问题的质量与效率。由(1)可知，A1C为平面DBE的法向量，因此(n⊥A1C)，就等→1空间向量应用于立体几何的理论背景→n⊥A1C于二面角A1－DE－B的平面角。故而，cos(n，A1C)=→文艺复兴时期，著名数学家笛卡尔则将代数方法引入到了图

4、n

5、·

6、AC

7、1形几何的研究中，开创了解析坐标与解析几

8、何的方法。自此开始，14解析坐标法与解析几何法被广泛应用到数学学习中。尤其是在新=槡42。课标的教学过程中，向量几何与解析几何更是被大量应用。将两种方法进行对比可知，采用空间向量法对问题进行解答就当前的数学教学内容来讲，高中数学教材只是简单介绍了时，只需创建一个直角坐标系，将相应点的坐标标出来，并根据点向量的一些基础知识，且以理论知识为主，但却缺乏具体的实践内的坐标把向量的坐标计算出来，然后应用两个向量相互垂直的结容，促使空间向量在实际应用方面存在很大空缺。究其根本原因，论证明，就可以把问题高效解决。高中数学教材的创新力度不够，还未从传统教学模式中走出来，

9、特3空间向量在异面直线所成角、点到平面的距离问题中的应用别是在碰到数学难题时，若应用向量方法进行解决往往非常简便，传统的综合法在异面直线所成角问题中的应用、解答点到平但诸多师生却想不到采用向量法进行解决。另外一个重要原因，面的距离和采用体积法等几种解题方法的突出特征就是计算量较即多数教师的思维模式过于局限与成绩，传统解题思路的影响过大、计算过程比较复杂，而且必须做辅助线，在这一系列过程中极大，使得空间向量的教学与解体模式受到很大阻碍。尤其是在处容易出错。但空间向量法却可以有效弥补其不足，进而促使其解理立体几何难题时，如果能够做到科学合理应用空间向量法，则会

10、题过程最为简化。为解题提供很好地解题技巧和逻辑思维方式，进而便于立体几何例2:已知下图正方体的棱长为1，点E、F分别是所在两条线教学难题的处理与解决。段的中点，求点A1到平面DBEF的距离。2空间向量在垂直求证以及求二面角问题中的应用解:如图2，构件空间直角坐标系，将D在求证直线垂直平面的相关问题时，通常都要在平面中找到点作为坐标的原点，DC作为Y轴，DA作为两条相交的直线，促使其都能与所给直线相互垂直。但是，在实际→X轴，DD1作为纵轴。从而可得，DB=(1，做题中，要找出这两条相交的直线，其难度相当大。而在求两个平→→1，0)，DF=(0，

11、0．5，1)，DA=(1，0，1)面所形成的二面角时，如果应用综合法则可以选用定义法、平面法1以及射影法，采用这些解题方法，通常对学生的综合能力要求较设平面DFEB的法向量为n=(x，y，［1］→→高。然而，若采用空间向量法对以上问题进行解决，则具有明显z)，可得:n·DB=0和n·DF=0即:x+y优势，例题如下:=0和0．5y+z=0。令z=0．5，x=1，y=例1:如图1，在正四棱柱中，已知AB=2，AA1=4，CC1上有点－1，取n=(1，1，0．5)，可得:A1到平面E，且CC=3EC。→图21

12、n·DA

13、1DFEB的距离为h==1。

14、

15、n

16、解析:这一题中的A1在平面DFEB上的射影很难确定，增加了求