空间向量在立体几何问题中的应用

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1、空间向量在立体几何中的应用以下n是平面Q的法向量。一.直线与平面平行与垂直的判定1.aUa<^>a丄〃2.。丄aa2n<^a=An二.平面与平面平行与垂直1・G口0OqU比22.Q丄0u>q丄弓u>q•佝=0kiL山A/UZ7三.立体几何中的角1.异面直线所成的角0D2.平面与平面所成的角cos（龙一&）=勺：仝n{~n2（图一）（图一）四.立体几何中的各种距离1•点到平面的距离PB・n=>d=——-——n1.异面直线的距离其中方是异面直线丽、丽的公垂线段而的方向向量42n•AM=0BN-0应用举例:例1.(2005年全国高考试题一)己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB

2、//CD,SB®,PA丄底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB"M严的中点。(1)证明：平面PAD丄平面PCD(2)求AC与PB所成的角(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小证明：(1)取如图坐标系。则P(0,0>—),D(—,0»0),(—,—,2222斤=(0,1,0)是平面PAD的——个法向量。设石=(x,y,z)是面PCD的法向量,反=(0丄,0),而=(],0丄)222(1)由0=直•DC=*y=>y=0由11一、二亍-卫=>x=y(2)——11o=n°•PD=—x——z^>x=z(2)「22(1)(2)取x=l,z=1=>%=(1,0,1)•••/?1=0

3、•••平面PAD丄PCD5-AC与PB所成的角为arccos^(3)设n3=(x,z)是平面AMC的法向量由0=禺•AC=—无+―y=>x=-y(l)22取y=1,(1)(2)=>®=(一1丄一2)设可=O,y,z)是平面BMC的法向量——1111由o=n^MB=(x,y,z)•(0,=--y--z^>z=-2y(l)0=吗・眈=(兀,”z)•(*,-*,())=*—*=>兀=y(2)由(1)(2)取y=l,得n4=(1,1,-2)COS(龙一0)=(-1丄-2)・(1丄-2)Jl+1+4—J1+1+422•••0=arccos(——),平面AMC与平面BMC所成的角为arcco

4、s(——)简评一：用上述基本命题求解立体几何中的问题，基本技能明显，易于操作。例2.（2005年高考湖北卷）如图，在四棱锥AB

5、C]P—ABCD屮，底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD,ABY,BC=,PA=2,E为PD的屮点。（1）求直线AC与PB所成角的余眩值（2）在侧面PAB内找一点W,使WE丄面PAC,并求出W点到AB和AP的距离解：取如图空间直角坐标系则B(0,V3,0),C(-1,希,0),D(-l,0,0),P(0,0,2),£(-

6、,0,1)AC=(-1,V3,0),PB=(0,V3,-2)设AC与PB所成的角为&,则cos&=AC^PB3护IT(2)设N

7、(0,y,z),NE=(-^9-y,l-z)由0=NE^AP=(--9-y,l-z)^(09092)=l-z=>z=lV36・・・N（0,—；1）,N到AB与PB的距离分别为1,6简评二：设出点的坐标，用向量运算列出方程来待定它，思路简洁明快。例3.（2005年高考重庆卷）如图，在三棱柱ABC-BXC｝中，丄侧面BB.C.C,E为棱CG上异于C、G的一点，EA丄EB】，已知AB=近,BB、=2,BC=,ZBCC，求3（1）异而直线AB与£冋的距离（2）二面角A-EB｝-A｝的平面角的正切值解：取如图所示空间直角坐标系，由AB=近,BB、=2,BC=,ZBCC=务得B（0

8、,0,0）,A（0,0,向,B、（0,2,0）,C（£E（耳,a,0）亟二（--q,血）,画二（-¥•••EA丄EBY由0=n•EBX=(x,y,z)•(-V33—xH—y=>x2V1O1=>a——或6/=—(舍去)/.E(—,—,0)2222设n=(x,y,z)是异面直线AB、EB〕方向向量，由0=n•BA=(x,y,z)•(0,0,a/2)=>/2z=>z=0(1)=V3y(2)(1)(2)取y=1=>/?=(V3,1,0),ABl=(0,2,—a/2)设AB与EB的距离为d,则」」馮"I_(0,2,一血)•(希,1,0)_Cl—二—[—1n>/3+1(2)设斤=(兀,”z)

9、是平面的法向量,则0=囲・斤二(一¥，扌,0)・(匕”z)=-^y-x+

10、y=>%=V3.y(l)0=丽•斤=(0,—2,血)•(x,y,z)=-2y+V2z=>z=血丿⑵(1)(2)取y=、dx=羽,z=yfinn=(3丄0)设佝=（兀,y，z）是平面AE耳的法向量，由0=EB、•n2=>x=內歹⑶0=A•n2(0,0,V2)•(x,y,z)=V2Z=>z=0(4)(3)(4)取y=1=>n2=(V3,l,0)设所求二面角A-EB.-A,的平面角为&,则COS&=斤•石_(巧