补充材料空间向量在立体几何解题中的应用讲座(教师)

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时间:2019-09-19

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1、戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1.空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(i,j,k按右手系排列)建立坐标系,坐标轴正方向与i,j,k方向相同.空间一点P的坐标的确定可以按如下方法:过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面),分别与坐标轴交于A、B、C三点,

2、x

3、=OA,

4、y

5、=OB,

6、z

7、=OC,当与i方向相同时,x>0,反之x<0.同理确定y、z.点P的坐标与坐标相同.(2)向量的直角坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,

8、b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a·b=a1b1+a2b2+a3b3,a∥bÛa1=lb1,a2=lb2,a3=lb3(lÎR).或,a⊥bÛa1b1+a2b2+a3b3=0.(3)夹角和距离公式①夹角公式cos=.②距离公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

9、

10、=.③定比分点公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则若M分为定比l(l≠-1),则M的坐标为x=,y=,z=,28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师特别地,当

11、l=1即M为中点时得中点坐标公式:x=,y=,z=.由中点公式,可得以A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)为顶点的三角形重心公式:x=,y=,z=.2.平面法向量的概念和求法向量与平面垂直:如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作a⊥a.平面的法向量:如果a⊥a,那么向量a叫做平面a的法向量.一个平面的法向量有无数条,它们的方向相同或相反.一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题.推导平面法向量的方法如下:在选定的空间直角坐标系中,设平面a的法向量n

12、=(x,y,z)[或n=(x,y,1)或n=(x,1,z),或n=(1,y,z)],在平面a内任选定两个不共线的向量a,b.由n⊥a,得n·a=0且n·b=0,由此得到关于x,y的方程组,解此方程组即可得到n.zA1yxAC1BCD1B1D图1例1.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0.分析:建立空间直角坐标系,如图1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),得=(1,0,1),=(0,1,1).设平面A1C1D的法向量n=(x,y,1).由n⊥面A1C1D,得n⊥,n⊥.有,得.∴n=(-1,-

13、1,1),n0==.28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1.异面直线所成的角设点A,BÎ直线a,C,DÎ直线b,构造向量,.cos<,>=,<,>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角.例2.在例1中,设AC∩BD=O,求异面直线D1O,DC1所成的角的余弦值.分析:=(,,-1),=(0,1,1).cos<,>=,∴异面直线D1O,DC1所成的角为arccos.2.线面所成的角jqanBA如图,AB为平面的斜线,n为平面a的法向量,如果与n之间所成的角j为锐角,则斜线AB与平

14、面a之间所成的角q=-j.即利用向量与n求出的是角j,实际上所求的角是q.若j为锐角,则q=-j,sinq=cosj;若j为钝角,则q=-(p-j)=j-,sinq=-cosj.总之有,sinq=

15、cos<,n>

16、=.28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师zxBA1yEFB1C1D1DCA图2例3.在例1中,设E、F分别为C1D1、B1C1的中点,(1)求证:E、F、B、D共面;(2)求A1D与平面EFBD所成的角.分析:(1)∵E(0,,1),F(,1,1),=(1,1,0),=(,,0),又=2,∴DB∥EF,故E、F、B、D共面.(2)

17、设平面EFBD的法向量n=(x,y,1).得=(0,,1),=(1,0,1),∵n⊥面EFBD,得n⊥,n⊥.有,得,∴n=(2,-2,1),∴sinq=,即q=.3.二面角的求法l二面角a—l—b,平面a的法向量m,平面b的法向量n.则二面角a—l—b的平面角q=.所以,cos=.若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上),当两个法向量的方向都指向二面角内或外时,则为二面角的平面角的补角;当两个法向量的方向一个指向二面角内,另一个指向外时,则为二面角的平面角.28戴氏教育簇桥校区空间向

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