向量方法在高考立体几何题中的应用

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1、向量方法在高考立体几何题中的应用广东省梅州市五华县琴江中学（514400）廖伟山在立体几何屮引入向量后，解题思路更加广阔，规律越趋明显，利用它可为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具。我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像力。向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的有力工具,利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，并在一定程度上降低空间思维难度。虽然有时计算量较大，但还是能帮学生较好地从代数方面入手

2、方便解决立体几何题，下而结合2008年各省高考题谈向量方法的运用。一，两条异面直线所成角的向量求法例1安徽卷（18）（木小题满分12分）如图，在四棱锥O-4BCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ZABC=-,O4（I）证明：直线MN〃平面OCD；04丄底面ABCD,04=2,M为04的中点，N为BC的中点。（II）求异面直线AB与MD所成角的大小;（III）求点C到平而AP〃的距离。解：作AP丄CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为X,），,Z轴建立坐标系72V2a/2V2V2A（0,0g（l,0,0）H0,〒0）,D（p,〒0）,O（0,

3、0,2）M（（W）,N（l-〒〒。）,（I）证明：顾込拿拿一阿=（。,拿一2）,丑（一拿拿一2）44•••MNII平WlOCD（H）设^与妙所成的角为0,•，亦（亦）,庇（盲,亍7/.COS&=网■阿网•网71扁与睑所成角的大小为彳点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1：天津卷（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,4D=2,PA=2,PD=2^2,ZPAB=60°・（I）证明AD丄平面PAB；（II）求异面直线PC与AD所成的角的人小。—,线而所成角的

4、向量求法例2湖北卷18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A^Q中，平而ABC丄侧面A}ABB{.（I）求证：初丄BC；（II）若直线AC与平面A/C所成的角为&,二面角A.-BC-A的人小为0,试判断&与©的人小关系，并Y以证明。证明（I）略解（II）：由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、所在的直线分别为兀轴、y轴、z轴，建立如图所不的空间直角坐标系，设AA=aAC=b,AB=cy则B(0,0,0),4(0,c,0),C&F—疋,0,0),£(0,c,d),于是BC=(V/r-c2,0,0),BA,=(0,c,d),AC=(J/—c?

5、,—c,0),兀可=(0,0,tz).设平面A]BC的一个法向量为n=(x,y,z),贝！J亠辰•两=0小]cy+az=o,由‘得厂—厂[ffBC=0[V/?--c2x=0,可取：=(0,-d,c),于是7fAC=ac>Q,AC与7的夹角卩为锐介，则卩与0互为余角.sin0=cosp=n•ACac所以sin(p=aBA.•ACCOS^9=7=^=;BA}>AC于是由c

6、量求法例3(全国二19)(木小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD-A^C^中，AA=24B=4,点E在CC「上久且C,E=3ECo(I)证明：A&丄平面BED；(II)求二WOA-D£-B的大小。解：以D为坐标原点，射线04为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz・依题设，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,l),人(2,0,4)・~DE=(0,2,1),丽=(2,2,0),A^C=(—2,2,—4),两=(2,0,4)・(I)因为^•Dfi=0,^C>D£=0,故£C丄BD,AC丄DE.又DBCDE=D,所以丄平WlDBE.(I

7、I)设向量方=(兀,y,z),是平面的法向量，贝吃丄旋丘丄囲.故2y+z=0,2兀+4z=0・令y=l,贝0z=-2,兀=4,n=(4,1,-2).等于二面角A}-DE-B的平面角,cos仏A〕CnA}CV14~42所以二面角―B的大小为arccos罟.点评：二面角的大小通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。练习3：陕曲卷19(本小题满分12分)三棱锥被平行于底面4BC的平面所截得的儿何体如图所示，截面为ZBAC=90°,£4丄平面ABC,A.A=a/3,AB=a/2,AC=2,=1,BD1~DC~2(I)证明

8、：平而丄平而BCC{B}；(ID求二面角A-CC}-B的大小。C四，点到面的距离