向量方法在高考立体几何题中的应用.doc

《向量方法在高考立体几何题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、向量方法在高考立体几何题中的应用广东省梅州市五华县琴江中学（514400）廖伟山在立体几何中引入向量后，解题思路更加广阔，规律越趋明显，利用它可为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具。我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像力。向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的有力工具，利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，并在一定程度上降低空间思维难度。虽然有时计算量较大，但还是能帮学生较好地从代数方面

2、入手方便解决立体几何题，下面结合2008年各省高考题谈向量方法的运用。一，两条异面直线所成角的向量求法例1安徽卷（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点。（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离。解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（Ⅰ）证明：设平面OCD的法向量为，则，即取,解得（Ⅱ）设与所成的角为,,与所成角的大小为点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1：天津卷（19）（本小题

3、满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小。一，线面所成角的向量求法例2湖北卷18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明。证明（Ⅰ）略解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),于是设平面A1BC的一个法向量为，则由，得可取，于是与的夹角为锐角，则

4、与互为余角.，所以于是由c＜b，得即又所以练习2：例1第（Ⅲ）问点评：线面所成的角是通过直线的方向向量和平面的法向量的夹角求得。一，二面角的向量求法ABCDEA1B1C1D1例3（全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，，点在上且。（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小。ABCDEA1B1C1D1yxz解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为，故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量，是平面的法向量，则．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．点评：二面角的大小通过该二面角的两个面的法

5、向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。练习3：陕西卷19（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，。A1AC1B1BDC（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小。一，点到面的距离的向量求法ACBP例4．（北京卷16）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离。证明（Ⅰ）略解：（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．ACBPzxyHE则．设．，，．取中点，连结．，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点

6、到平面的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为．练习4：福建卷（18）（本小题满分12分）　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由。点评：立体几何空间角，空间距离的计算往往技巧性较强，思路易受阻，可借助向量的运算特别是坐标运算

7、，极大地减少了空间思维，取而代之的是向量带来的运算量。