向量方法在高考立体几何题中的应用.pdf

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1、向量方法在高考立体几何题中的应用广东省梅州市五华县琴江中学（514400）廖伟山在立体几何中引入向量后，解题思路更加广阔，规律越趋明显，利用它可为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具。我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像力。向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的有力工具，利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，并在一定程度上降低空间思维难度。虽然有时计

2、算量较大，但还是能帮学生较好地从代数方面入手方便解决立体几何题，下面结合2008年各省高考题谈向量方法的运用。一，两条异面直线所成角的向量求法例1安徽卷（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC,4OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点，N为BC的中点。O（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；M（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离。ADBNC解：作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立

3、坐标系22222A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,,0),22244uuuur22uuur2uuur22（Ⅰ）证明：MN(1,,1),OP(0,,2),OD(,,2)44222设平面OCD的法向量为n(x,y,z)，则n•OP0,n•OD0，zO2y2z02即M22xy2z022AD取z2,解得n(0,4,2)xBNCPy22MN•n(1,,1)•(0,4,2)0,44

4、MN//平面OCDuuuruuuur22（Ⅱ）设AB与MD所成的角为,∵AB(1,0,0),MD(,,1)22AB•MD1cos,,AB与MD所成角的大小为AB•MD233点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1：天津卷（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小。二，线面

5、所成角的向量求法例2湖北卷18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCABC中，平面ABC侧111面AABB.11（Ⅰ）求证：ABBC；（Ⅱ）若直线AC与平面ABC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明。1证明（Ⅰ）略解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB所在的直线分1别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA=a,AC=b,1AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(b2c2,0,0),A(0,c,a),于是1u

6、uuruuurBC(b2c2,0,0),BA(0,c,a),1uuuruuurAC(b2c2,c,0),AA(0,0,a).1设平面ABC的一个法向量为n(x,y,z)，则1n•BA0cyaz0,由1，得n•BC0b2c2x0,可取n(0,a,c)，于是n•ACac0,AC与n的夹角为锐角，则与互为n•ACac余角.sincos，n•ACba2c2BA•ACcacos1所以sin,BA•ACa2c2a2c21aca于是由c

7、＜b，得＜,即sin＜sin,又0＜，＜,所以＜,ba2c2a2c22练习2：例1第（Ⅲ）问点评：线面所成的角是通过直线的方向向量和平面的法向量的夹角求得。三，二面角的向量求法例3（全国二19）（本小题满分12分）D1C1如图，正四棱柱ABCDABCD中，AA2AB4，点E在CC上A1B1111111且CE3EC。1E（Ⅰ）证明：AC平面BED；1DC（Ⅱ）求二面角ADEB的大小。AB1z解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，D1C1建立如图所示直角坐标系Dxyz．A1B1

8、依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，2，，1)A(2，0，4)．1uuuruuuruuuruuuurEDE(0，2，，1)DB(2，2，0)，AC(2，2，4)，DA(2，0，4)．11DyC（Ⅰ）因为AC•DB0,AC•DE0，AB11x故ACBD，ACDE．又DBIDED，11所以AC平面DBE．1（Ⅱ）设向量n(x,y,z)，是平面DAE