向量在解题中的应用

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1、例说向量在解题中的妙用312353浙江上虞春晖中学王启东向量是数学中的重要概念之一，新教材已将《平面向量》纳入教学计划，编入高中数学教材，有关向量内容的考查，性质的应用已引起广大师生的重视。运用向量知识解题往往可收到化繁为简、化难为易的效果，本文着重就向量的数量积的应用谈谈自己的一点体会。1、求值例1、设均为实数，且，，，求的值。解：由题设条件，考虑构造向量，由可知：即：，变形整理得：，同理：2、求夹角例2、已知非零向量的夹角为，且向量与垂直，与垂直，求的值。解：且即：（1）—（2）得：代入（1）得：即：3、求最值例3、设且恒成立，求的

2、最大值。解：设由得：即：当且仅当共线时，即：即：时“=”成立。的最大值为5。4、证明三角公式例4、求证：证明：以原点O为始点，作向量使其分别等于，与轴交角分别为则，交角为又由（1）、（2）可知：5、证明等式例5、已知求证：证明：若，结论显然成立。若不全为0，构造向量：则由已知得：或即：6、证明不等式例6、求证：分析：本题常规用代数证明较繁！若从联想到向量的数量积，由联想向量的模来证明，既简便又明了，巧妙之至。证明：设7、证明三线共点（三点共线）例7、求证△的三条高相交于一点。证明：设△的、边上的高分别为、，交于点，连。设，，则，即：，两

3、式相减得：即：即三角形三条高相交于一点。8、证平行、垂直例8、已知为非零向量，，求证；证：即：即：9、判断三角形形状例9、已知向量满足，，判断的形状。解：，即即由得：=同理：=同理：是正三角形。10、解方程和方程组例10、解方程：分析：本题直接解方程显然较繁，构造向量来求解不失为一种较好的方法。解：构造向量，而即：代入原方程有：即：解此方程组得：