“共线向量定理”在解题中的应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com中学数学杂志(高中)2007年第3期“共线向量定理”在解题中的应用山东省济宁市实验中学272100赵玉华近几年的高考试题，很多都是以向量知识解之得A=一1，Y=一8．为背景，与三角函数、数列、解析几何、立体几何等知识交汇的综合性问题向量作为数学的一3利用共线向量定理解答定点(值)问题种工具，在中学数学解题中的作用越来越被人例3过AABC的重心任作一直线分别们所重视本文就“共线向量定理”在解题中的交边AB、AC于点D、E若A=AB，=应用加以探究，不妥之处敬请同行斧正’)，A—C)，≠O，求证：l+l是定值，1利用共线

2、向量定理证明(或判断)三点共线例1设m≠0，且m≠一1，求证：A(m，6)、日m，1)、c(一1，一)三点共线．证明因为：(一1一m，一66)：(一(1+m)，一)，A—B：=(一二m，一55))，，所所以以A—C：=证明如图1，设AABC的重心为G，连鱼!上磕因为D、G、E三点共线，所以：A赢，又因为m≠0且m≠一1．所以A———G—=(1一A)A——D——+AA——E—+．又因为A——D_+=A——B_+，A——E_+=YA——C_，所以≠0．所以：(1一A)+Aya--d．①又因为A与A有公共点A，又因=了2A--c-*，=了1【---*+)所以A、日、C三

3、点共线．．②2利用共线向量定理解答定比分点问题且，a--d不共线，例2已知两点P。(一1，一6)、P2(3，0)，求点P(一÷，)，)分有向线段P。所成的⋯叫，比A及Y的值．解由题意知P。=AP，f：3(1一A)，即(一÷，Y+6)=A(孚，一)，)，解之得JIl：3A．所以，，j『-一导丁：了A，①所以+l：3．【)，+6=一A②维普资讯http://www.cqvip.com中学数学杂志(高中)2007年第3期554利用共线向量定理证明直线与直线平例5如果AABC三边的长口，6，C成等行、直线与平面平行、平面与平面平行差数列，且a

4、，为例4(2005年北京卷文史类)如图2，AABC的内心，求证：／／AC．在直三棱柱C。。C。中，AC=3，BC=证明如图3，连结，并延长交边BC4，AB=5，AA=4，点D是AB的中点．于点D．(1)求证：AC上BC1；(2)求证：AC。／／平面CDB。；(3)求异面直线AC。与。C所成角的余弦值．图3因为，为△A日c的内心，所以,历AI=历AB：其Ⅱ一一一!±一CD’lD—BD—CD—BD+CD一口‘图2证明因为直三棱柱C。。C。底f：，①所以JI口’面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC、：TCBC、CC两两垂直．LDC一6．’②如图2，以C为坐标原

5、点，直线CA、CB、由①=CC分别为轴、Y轴、轴建立空间直角坐标系，则c(o，0，0)，A(3，0，0)，C(0，0，4)，又因为，在线段AD上，B(O，4，0)，B。(0，4，4)，D(÷，2，0)．所以：a+÷D+C(1)因为AC=(一3，0，0)，BC=(0，一又因为D在线段C上，4，4)，所以AC·c=0，所以Ac上c。．所以由②得蔚=詈，(2)设CB与C的交点为E，连结DE，即一A—B：÷(一)，则E(O，2，2)．因为DE=(一÷，0，2)，AC。=D所以=A—B+cA-d．(一3,0，4)，所以蔚=Ji)~I7J．DEfAC。．又因为G为AABC的重

6、心，又因为DE平面CDB。，AC。平面CDB。，所以AC。／／平面CDB。．所以=T(A—B+)．(3)因为AC=(一3，0，4)，CB=(0，又因为=力一=‘b4，4)，所以COS==揣—IA—C—Il—CB_I=5删，⋯所一以⋯异一÷(+)=面直线AC。与B。C所成角的余弦值为．+a+6+C一j(+，维普资讯http://www.cqvip.com56中学数学杂志(高中)2007年第3期且AABC三边的长a、6、c成等差数列，同理可得：b-f=i__+所以2b=a+c，因为P在线段EF上，所以=÷+一÷所以：t蔚．一了1A—C=(一

7、丁1)A—C所以：(1一t)O—E+t，，即=即=[+]O—C+焘A—C．因为。

8、解过抛物线