平面向量基本定理在解决向量问题中的应用

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1、平面向量基本定理在解决向量问题中的应用【摘要】在高中数学教学中平面向量一直是一个重点内容，这一部分的内容在数学各个方面都有较广的应用，重视这一方面内容的学习对于学生数学成绩的提高有着重要的意义.本文主要从平面向量的基本定理出发，利用各种教学中的实例，针对其在向量内容中的应用进行探讨.【关键词】平面向量；基本定理；应用平面向量问题在高中数学中一直以一种数学工具的形式出现，在很多的数学内容中都涉及了这一问题，与此同时在进行向量问题研究时，很多其他的数学知识也被大量的应用，从这点来看，向量问题很好的体现出了数学知识间的相互联

2、系和迁移•具体到向量问题，在高考中的考查越来越频繁，其中以平面向量基本定理的考查最为突出，占据了高考向量内容的大部分内容.所谓平面向量基本定理指的是：a,b是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量c来说，有且仅有一组数x,y,能够满足c二xa+yb,在这其中a,b被称为这一平面内所有向量的一组基底.对定理的理解：(1)实数对(a,b)存在的唯一性：平面内任一向量c均可以用给定的基底a,b线性表示成c二xa+yb,且这种表示是唯一的，其集合意义是任一向量都可以两个不平行的方向分解成两个向量的和，且分解

3、是唯一的.(1)基底的不唯一性：平面内任意两个向量，只要不共线，便可以作为平而内全体向量的一组基底.(2)“定理”展性：“定理”以二维向量空间为依托，可以拓广到n维向量空间.从以往高考对平面向量定理的考查角度来说，主要从以下几个方面进行考查：第一，a,b作为平面向量基底吋的限制条件；第二，对于定义中x,y存在的唯一性的理解与记忆；第三，通过平面向量基本定理的定义，解决向量的线性问题•这三方面的考查在高考中经常出现，因此本文主要从这三点出发，通过典型的实例对其进行讲解.例1已知fl,f2是某一平面向量的基底，如果沪f1+

4、入f2,b=-2Xfl~f2同样也是一组平面向量的基底，那么入丘・解析从这道例题我们可以得到这样的限制条件，因为a,b是平面向量的基底，所以我们可以从平面向量基本定理的定义出发得到，a,b不能够共线，用数学公式来表示就是b-ua(uer),将已知的式子代入就可以得到-2入f1-f2二口(f1+入f2),将式子整理后得到：-2入二卩，-l=uX.解这一方程组我们可以得到入二±22,因此这一例题的答案也就得到了，即是入G入

5、入工±22.总结耍想将两个向量当作是某个平面向量的基底，就必须耍满足这两个向量不共线这一个充分必要条

6、件，不共线的数学判别式为b=ua(uer)这个式子不成立，在对平面向量的基本定理的理解时应该充分注意到这一点•将这一点作为平面向量最基础的知识，牢牢掌握.例2在某一平面n中有这样两个向量a,b,它们彼此不共线，而向量c是平面n中的任意向量，那么关于X的方程：0x2+bx+c二0的解的情况是.解析通过题目的已知条件分析，因为ax2+bx+c二0,所以可得到c=-ax2-cx.又因为c是平而中的任意向量，所以可以得到c=入a+Ub,并且对于特定的c而言，入是唯一的，那么我们就可以得到-x二u,-x2=X,经过整理后我们很容

7、易能够得到-X=u2.又由于C是任意一个向量，所以我们可以推出X最多只能有一个解.总结通常将这样平面向量与一元二次方程相结合的题目放在学生面前时，学生常常会按照以前的思维定式根据所给的方程去求解其对应的然后再根据§与0的关系来判断根的情况，如果§大于0,那么就有两个根，如果§小于0,那么就没有根，如果6等于0,那么就有两个相等的根•但是采用这样传统的方法并不能求得最终的结果，经过分析不难看出产生这种错误思维的一个重要原因就是，学生根本没有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念，没有形成一种用向量的定理去分析问题的思维•

8、因此，学生在平时学习和做题的过程中应该充分的理解利掌握平面向量基本定理的概念，并能够利用它进行一些相关题目的解答.例3o是Zkabc的外心,并且这个三角形的边b=4,a=27,c=6,如果ao=xab+yac,另［3么(x,y)二.分析经过分析我们可以作岀上面的图形，根据平行四边形法则，也就是需要计算出平行四边形amon的两条边am,an的长度就可以了，我们可以利用三角形的有关知识对其进行求解.解根据余弦定理我们可以很容易得到：cosa=b2+c2-a22bc=12,Za=n3.根据正弦定理可得2r=a2sina=42

9、13,・oa=r=2213・又Vad=3,Aod=ao2-ad2=33,・Zomd=Za=60°,・an=om=23,md=13,/.am=3-13=83,・・x二amab二49,y=an3.c=16,该题目的结果（x,y）=49,16.总结这一类型的问题是一种平面向量基本定理的基本应用方式，关系到两个不共线的向量线性问题的