平面向量基本定理

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1、平面向量基本定理教学目标1．了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3．两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[基础·初探]教材整理1　平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题．1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对

2、不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)解：(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．第20页共20页(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理2　两向量的夹角与垂直阅读教材P9

3、4第六行以下至例1内容，完成下列问题．1.夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2－3－1所示)．图2－3－1(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．如图2－3－2，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．图2－3－2解：根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量第20页共20页，夹角为π－∠BAC．故二者互补．【答案】　互补[小组合作型]用基底表示向量　

4、(1)已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝(　　)A．(a－b)　　　　B．－(a－b)C．－(a＋b)D．(a＋b)(2)如图2－3－3，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)图2－3－3用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．解：　(1)如图所示，因为＝＋＝2，所以＝(a＋b)．第20页共20页(2)＝－＝＋＝(－)＋＝＋＝a＋b，＝－＝＋＝(－)＋＝＋＝a＋b.【答案】　(1)D　(2)a＋b　a＋b平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据

5、平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．[再练一题]1．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b用a，b表示，，.图2－3－4第20页共20页【解】　＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.向量的夹角问题　(1)(2016·韶关高一检测)已知向量a，b，c满足

6、

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且

11、a

12、＝

13、b

14、＝

15、a－b

16、，求a与a＋b的夹角．可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．解：(1)作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)，则a，b夹角为180°－∠C．因为

17、a

18、＝1，

19、b

20、＝2，c⊥a，所以∠C＝60°，所以a，b的夹角为120°.【答案】　120°(2)由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵

21、a

22、＝

23、b

24、＝

25、a－b

26、，第20页共20页∴∠BOA＝60°.又∵＝a＋b，且在菱形OACB中

27、，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．[再练一题]2．已知

28、a

29、＝

30、b

31、＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________.解：如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作▱OACB，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为

32、a

33、＝

34、b

35、＝2，所以