向量的共线定理.ppt

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1、（1）一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，回顾旧知:设为实数，那么第一分配律第二分配律练习：已知非零向量，求向量的模结论：①是单位向量③与反向的单位向量是②与同向的单位向量是④与平行的单位向量是向量的共线定理如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,(1)BC和DE的关系如何?(2)能否将DE用BC线性表示?EDCAB探索1若

2、a

3、=3,

4、b

5、=6,a与b方

6、向相同,能用a表示b吗？若

7、a

8、=3,

9、b

10、=6,a与b方向相反,能用a表示b吗？你能总结出向量共线的一个条件吗？如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ,使b＝λa．共线向量定理:注:(1)定理包含正反两层意思;(2)定理的一个重要条件a≠0;(3)λ符号决定两个向量是同向还是反向;λ的绝对值决定两个向量长度关系；判断:(1)若a//b则存在唯一的实数λ,使b=λa;(2)若a//b,则存在不全为零的实数λ,μ使

11、λa+μb=0;(3)已知a与b不共线,若λa+μb=0,则λ=μ=0.×√√例1.如图,△OAB中,C为直线AB上一点,AC＝λCB（λ≠－１）．求证：．AOBC分析:将已知条件中的AC，CB用结论式中的OA，OB，OC表示，进而解出OC．运用证明：因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，又AC＝λCB，所以OC－OA＝λ（OB－OC），即　（１＋λ）OC＝OA＋λOB又因为λ≠－１，即　１＋λ≠０，所以．AOBC特例：当λ＝１时,你能得到什么结论？若C为线段AB的中点,O为任意一点,则结论

12、：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线则则P、A、B三点共线.若O是平面上任意一点,且若O是平面上任意一点,且其中,则P、A、B三点共线等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则其中例2.设e1,e2是两个不共线向量,判断下列各题中的向量a,b是否共线?(1)a=5e1,b=－7e1;(2)a=e1－e2,b=3e1－2e2;(3)a=e1+e2,b=3e1－3e2.共线共线运用例3.设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1+

13、e2,若A、B、D三点共线,求k的值.解：∵A、B、D三点共线,∴AB//BD，而AB=2e1+ke2,,BD=CD-CB=e1-2e2，显然BD≠0，则存在实数λ使得AB=λBD，即2e1+ke2=λ(e1-2e2)，得(2-λ)e1+(k+2λ)e2=0，∵e1,e2不共线,∴2−λ=0，k+2λ=0，解得k=−4.运用例4.如图,已知G是△OAB重心,求证：BCAD运用G·E例5:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，，求证：M、N、C三点共线.AMBCDN提示

14、：设AB=aBC=b则MN=…=a+bMC=…=a+b所以M.N.C三点共线1.已知向量a＝２e１－２e２，b＝－３（e２－e１），求证：a与b是共线向量．练习2.已知MP＝４e１＋２e２，PQ＝２e１＋e２，求证：M，P，Q三点共线．3．如图，在△ABC中，，记BC＝a，CA＝b，求证：．证明：练习4:（2003全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B概念辨析（1）若向量与共线,则存在实数,使.注意对

15、的讨论与,则向量,使（2）若存在实数共线.（3）若向量与共线,则存在实数,使得.（4）存在实数,使得,则向量与共线.反例:①当时,零向量与任意向量都共线;时,依据向量共线定理.②当反例:有可能为非零不共线向量.②若则③若则①若则④若则存在实数取使得．（　）（　）（　）√√××（　）一、向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD小结再

16、见